Uporaba podobnosti

Izrazi
Enačbe in neenačbe
Geometrijski elementi v prostoru
Linearna funkcija
Obdelava podatkov
Razmerje in podobnost
Oglata telesa
Okrogla telesa
Verjetnost in kombinatorika
- Poskus, dogodek, izid 497
- Računanje verjetnosti 503

Uporaba podobnosti

Zapiši razmerje istoležnih stranic v parih podobnih likov. Izračunaj neznane dolžine stranic.

Istoležni sta krajši osnovnici (na sliki sta modre barve), daljši osnovnici (zelene barve) in para krakov (rdeče barve). Zapišimo razmerje istoležnih krakov. V enakem razmerju so tudi preostali pari istoležnih stranic.

$b':b=4:3,2=40:32=5:4$

$a':a=5:4$

$6\;\rm{cm}$ $:a=5:4$

$a=\frac{6\;\rm{cm} \cdot 4}{5}$

$a=\frac{24\;\rm{cm}}{5}$

$a=4,8\;\rm{cm}$

$c':c=5:4$

$c':2\;\rm{cm}=5:4$

$c'=\frac{2\;\rm{cm} \cdot 5}{4}$

$c'=\frac{10\;\rm{cm}}{4}$

$c'=2,5\;\rm{cm}$

Istoležni stranici sta krajši stranici in daljši stranici. Zapišimo razmerje znanih istoležnih krakov. Razmerje uporabimo pri računanju neznane dolžine stranice.

$b':b=2:3,2$ ali $b':b=20:32$ ali $b':b=5:8$

$a':a=5:8$

$a':6\;\rm{cm}=5:8$

$a'=\frac{6\;\rm{cm} \cdot 5}{8}$

$a'=\frac{30\;\rm{cm}}{8}$

$a'=\frac{15\;\rm{cm}}{4}$

$a'=3{3 \over4}\;\rm{cm}$

$a'=3,75\;\rm{cm}$

Istoležni stranici sta krajši in daljši stranici.

$b':b=2,5:5,2$ ali $b':b=25:52$

$a':a=25:52$

$5,2\;\rm{cm}$ $:a=25:52$

$a=\frac{5,2\;\rm{cm}\cdot52}{25}$

$a=\frac{52\;\rm{cm} \cdot 52}{10 \cdot 25}$

$a=\frac{2\,704\;\rm{cm}}{250}$

$a=\frac{10\,816\;\rm{cm}}{1\,000}$

$a=10,816\;\rm{cm}$

Zgled

Povleci oglišče $C'$ tako, da bo pravokotnik $A'B'C'D' \sim ABCD$ in bo $k=\frac{1}{2}$. Povleci oglišče $C''$ tako, da bo $A''B''C''D'' \sim ABCD$ in bo $k=2$.

Zgled

Marko ima na vratih svoje sobe prometni znak za enosmerno cesto z dolžino stranice $72\;\rm{cm}$ in širino $24\;\rm{cm}$. Natisnil si je še enega podobnega, s ploščino $108\;\rm{cm^2}$. V kakšnem merilu sta oba znaka?

Izračunajmo ploščino prometnega znaka, ki ga ima Marko na vratih.
$p=a \cdot b$

$p=72\;\rm{cm}\cdot24\;\rm{cm}$

$p=1\,728\;\rm{cm}^2$

Razmerje ploščin je enako kvadratu podobnostnega koeficienta.

$k^2=\frac{p'}{p}$

$k^2=\frac{1\,728\;\rm{cm}^2}{108\;\rm{cm}^2}$

$k^2=16$

$k=\sqrt{16}$

$k=4$

Ker je podobnosti koeficient enak $4$, to pomeni, da je prometni znak na vratih $4\mbox{-}$krat večji od natisnjenega. Prometna znaka sta v merilu $4 : 1$.

Razmerje obsegov podobnih likov je enako podobnostnemu koeficientu $k$.

$o':o=k$

Razmerje ploščin podobnih likov je enako kvadratu podobnostnega koeficienta $k^2$.

$p':p=k^2$

Uporaba podobnosti

Zapiši razmerje istoležnih stranic v parih podobnih likov. Izračunaj neznane dolžine stranic.

Zgled

a) Zapiši in izračunaj razmerje obsegov podobnih pravokotnikov. b) Zapiši in izračunaj razmerje ploščin podobnih pravokotnikov.

Zgled

Marko ima na vratih svoje sobe prometni znak za enosmerno cesto z dolžino stranice $72\;\rm{cm}$ in širino $24\;\rm{cm}$. Natisnil si je še enega podobnega, s ploščino $108\;\rm{cm^2}$. V kakšnem merilu sta oba znaka?

Zgled

a) Zapiši in izračunaj razmerje obsegov podobnih pravokotnikov.
b) Zapiši in izračunaj razmerje ploščin podobnih pravokotnikov.