Računanje prostornine prizme

Izrazi
Enačbe in neenačbe
Geometrijski elementi v prostoru
Linearna funkcija
Obdelava podatkov
Razmerje in podobnost
Oglata telesa
Okrogla telesa
Verjetnost in kombinatorika
- Poskus, dogodek, izid 497
- Računanje verjetnosti 503

Na spodnjem prikazu postopoma spreminjaj dolžine posameznih robov štiristrane prizme (kvadra). Naj bo npr. najprej $a=4\ \rm{cm}$, $b=1\ \rm{cm}$ in $v = 1\ \rm{cm}$. Nato spreminjaj širino ali višino prizme. Opiši, kako se pri tem spreminja prostornina prizme.

Spreminjamo dolžine osnovnih robov, višina prizme ostane nespremenjena. Če spremenimo dolžino osnovnega roba prizme, se spremeni ploščina osnovne ploskve in s tem tudi prostornina prizme. Tako se pri dvakratnem povečanju roba $a$ (npr.: z $2\ \rm{cm}$ na $4\ \rm{cm}$) tudi prostornina prizme dvakrat poveča. Pri hkratnem povečanju dolžin obeh osnovnih robov (npr.: da dolžini obeh različnih stranic pravokotnika dvakrat povečamo) se prostornina prizme poveča za štirikrat. Poskusi še kakšno možnost.

Spreminjamo višino prizme, dolžine osnovnih robov ne spreminjamo. Pri dvakrat, trikrat ... daljši višini prizme se tudi prostornina prizme dvakrat, trikrat ... poveča.

Zgled

Imamo dva prostorninsko enaka kvadra. Prvi kvader je trikrat višji od drugega. Zapiši razmerje med osnovnima ploskvama kvadrov.

$O_1:O_2=$ 1 $:$ 3

Zapisan je matematični postopek zapisa razmerja med osnovnima ploskvama kvadrov.
$O_1\cdot v_1 = O_2\cdot v_2$, kjer je $v_1 = 3\cdot v_2$
$O_1\cdot 3\cdot v_2 = O_2\cdot v_2 /: v_2$
$O_1\cdot 3 = O_2 /:O_2$
$\frac{O_1\cdot 3}{O_2} = 1 /:3$
$\frac{O_1}{O_2} = \frac{1}{3}$ ali
$O_1 : O_2 = 1 : 3$

Zgled

Izračunaj prostornino $10\ \rm{cm}$ visoke pravilne tristrane prizme z dolžino osnovnega roba $6\ \rm{cm}$.

Najprej izračunaj ploščino osnovne ploskve (enakostranični trikotnik), nato uporabi formulo $V=O\cdot v$.

Prostornino prizme lahko zapišemo s približkom.

Pravilna tristrana prizma
$a=6\ \rm{cm}$
$\underline{v=10\ \rm{cm}}$
$V=?$

$O=\frac{a^2\sqrt3}{4}$
$O\doteq \frac{(6\ \rm{cm})^2\cdot 1,73}{4}$

$O\doteq 15,57\ \rm{cm}^2$

$V=O\cdot v$
$V\doteq 15,57\ \rm{cm}^2\cdot 10\ \rm{cm}$

$V\doteq 155,7\ \rm{cm}^3$

Prostornino prizme lahko zapišemo s točno vrednostjo.

Pravilna tristrana prizma
$a=6\ \rm{cm}$
$\underline{v=10\ \rm{cm}}$
$V=?$

$O=\frac{a^2\sqrt3}{4}$
$O= \frac{(6\ \rm{cm})^2\cdot \sqrt3}{4}$

$O= 9 \sqrt3\ \rm{cm}^2$

$V=O\cdot v$
$V= 9 \sqrt3\ \rm{cm}^2\cdot 10\ \rm{cm}$

$V= 90 \sqrt3\ \rm{cm}^3$

Zgled

V podjetju Beton izdelujejo betonske stebre v obliki pravilne šeststrane prizme (glej skico). Izračunaj, koliko betona potrebujejo za izdelavo stotih stebrov, če je $\sqrt3\doteq 1,73$.

Osnovna ploskev prizme je pravilni šestkotnik. Pravilni šestkotnik lahko razdelimo na šest enakostraničnih trikotnikov.

Pravilna šeststrana prizma
$a=2\ \rm{dm}$
$\underline{v=2,5\ \rm{m}=25\ \rm{dm}}$
$V=?$

$V=O\cdot v$

$O=6\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}$
$O\doteq 6\cdot \frac{(2\ \rm{dm})^2\cdot 1,73}{4}$

$O\doteq 10,38\ \rm{dm}^2$

$V\doteq 10,38\ \rm{dm}^2\cdot 25\ \rm{dm}$

$V\doteq 259,5\ \rm{dm}^3$

$100\cdot 259,5\ \rm{dm}^3=25\ 950\ \rm{dm}^3=25,95\ \rm{m}^3$

Za izdelavo $100$ stebrov podjetje Beton porabi $25,95\ \rm{m}^3$ betona.

Računanje prostornine prizme

Zgled

Višino prizme povečamo za faktor $\frac{4}{3}$. V kakem razmerju sta prostornini prvotne in novonastale prizme?

Zgled

Imamo dva prostorninsko enaka kvadra. Prvi kvader je trikrat višji od drugega. Zapiši razmerje med osnovnima ploskvama kvadrov.

Zgled

Izračunaj prostornino $10\ \rm{cm}$ visoke pravilne tristrane prizme z dolžino osnovnega roba $6\ \rm{cm}$.

Zgled

V podjetju Beton izdelujejo betonske stebre v obliki pravilne šeststrane prizme (glej skico). Izračunaj, koliko betona potrebujejo za izdelavo stotih stebrov, če je $\sqrt3\doteq 1,73$.