Prostornina sestavljenih teles

Izrazi
Enačbe in neenačbe
Geometrijski elementi v prostoru
Linearna funkcija
Obdelava podatkov
Razmerje in podobnost
Oglata telesa
Okrogla telesa
Verjetnost in kombinatorika
- Poskus, dogodek, izid 497
- Računanje verjetnosti 503

Premikaj točko $P$ in opiši, kako bi izračunal prostornino sestavljenega telesa na prikazu.

1. Vsota prostornin

V primeru, ko je piramida postavljena na prizmo, izračunamo skupno prostornino sestavljenega telesa tako, da seštejemo obe prostornini.

$\large V=V_{\rm{prizme}}+V_{\rm{piramide}}$

2. Razlika prostornin

V primeru, ko v prizmo izdolbemo piramido, je prostornina nastalega telesa razlika prostornine prizme in prostornine piramide.

$\large V=V_{\rm{prizme}}-V_{\rm{piramide}}$

Prostornino sestavljenega telesa izračunamo kot vsoto ali razliko prostornin posameznih delov telesa.

Zgled

Izračunaj prostornino telesa s podatki: $ a=18\;\rm{cm}$, $ b=38\;\rm{cm} $ in $ v_1=15\;\rm{cm} $

Prostornino sestavljenega telesa izračunamo kot vsoto prostornin kvadratne prizme in pravilne $4$-strane piramide.

Osnovna ploskev:
$O=a^2 $
$O=(18\;\rm{cm})^2 $
$O=324\;\rm{cm}^2 $

Prostornina prizme:
$V_1=O\cdot b$
$V_1=324\;\rm{cm}^2\cdot 38\;\rm{cm}$
$V_1=12\,312\;\rm{cm}^3$

Višina piramide:

$v^2$	$=$	$v_1^2-{(\frac{a}{2}) }^{2} $
$v^2$	$=$	$(15\;\rm{cm})^2-{\Big(\frac{18\;\rm{cm}}{2}\Big) }^{2} $
$v^2$	$=$	$225\;\rm{cm}^2-81\;\rm{cm}^2$
$v^2$	$=$	$144\;\rm{cm}^2$
$v$	$=$	$\sqrt{144\;\rm{cm}^2}$
$v$	$=$	$12\;\rm{cm}$

Prostornina piramide:
$V_2=\frac{O\;\cdot \; v}{3}$
$V_2=\frac{324\;\rm{cm}^2\cdot 12\;\rm{cm}}{3}$
$V_2=108\;\rm{cm}^2\cdot 12\;\rm{cm}$
$V_2=1\,296\;\rm{cm}^3$

Prostornina sestavljenega telesa:
$V=V_1+V_2$
$V=12\,312\;\rm{cm}^3+1\,296\;\rm{cm}^3$
$V=13\,608\;\rm{cm}^3$

Zgled

Telo na desni je sestavljeno iz dveh kvadrov. Izračunaj prostornino telesa s seštevanjem in odštevanjem prostornin. Podatke najdeš pod gumbom.

Telo razdelimo na dva kvadra, izračunamo njuni prostornini in ju seštejemo.

Kot vemo, prostornino kvadra izračunamo po formuli $V=a \cdot b\cdot c$.

$V_1=3\;\rm{cm} \cdot 2\;\rm{cm}\cdot 8\;\rm{cm}$
$V_1=48\;\rm{cm}^3$

$V_2=5\;\rm{cm} \cdot 3\;\rm{cm}\cdot 8\;\rm{cm}$
$V_2=120\;\rm{cm}^3$

$V=V_1+V_2$
$V=48\;\rm{cm}^3+120\;\rm{cm}^3$
$V=168\;\rm{cm}^3$

Prostornino telesa lahko izračunamo tudi z odštevanjem prostornin. Točko $T$ povleci v desno. Od prostornine večjega kvadra odštejemo prostornino manjšega (odmaknjenega) kvadra.

$V_1=5\;\rm{cm} \cdot 5\;\rm{cm}\cdot 8\;\rm{cm}$
$V_1=200\;\rm{cm}^3$

$V_2=2\;\rm{cm} \cdot 2\;\rm{cm}\cdot 8\;\rm{cm}$
$V_2=32\;\rm{cm}^3$

$V=V_1-V_2$
$V=200\;\rm{cm}^3-32\;\rm{cm}^3$
$V=168\;\rm{cm}^3$

Zgled

Spomnimo se teles A in B z enakima površinama. Podatke za telesi najdeš na prejšnji strani. Izberi pravilno trditev.

A

B

Prostornina telesa A je večja od prostornine telesa B.

Prostornina telesa A je manjša od prostornine telesa B.

Prostornini teles A in B sta enaki.

Napačno.

Pravilno.

Napačno.

a) Izračunaj prostornini teles A in B.
b) Prostornino obeh teles izrazi z robom $a$.

Prostornino telesa A dobimo z odštevanjem prostornine piramide od prostornine kocke. Prostornino telesa B dobimo s seštevanjem prostornin kocke in piramide.

Prostornina kocke: $V_K=a^3=(8\;\rm{cm})^3=512\;\rm{cm}^3$ Prostornina piramide: $V_P=\frac{Ov}{3}$ $V_P=\frac{32\;\rm{cm}^2\; \cdot \; 8\;\rm{cm}}{3}$ $V_P=85\frac{1}{3}\;\rm{cm}^3$		Ploščina osnovne ploskve piramide: $O=a_1^2=(\frac{a\sqrt2}{2})^2$ $O=(\frac{8\;\rm{cm}\sqrt2}{2})^2$ $O=\frac{64\;\rm{cm}^2 \; \cdot \; 2}{4}$ $O=32\;\rm{cm}^2$ Višina piramide: $v=a=8\;\rm{cm}$
Prostornina telesa A: $V_A=V_K-V_P=512\;\rm{cm}^3-85\frac{1}{3}\;\rm{cm}^3=426\frac{2}{3}\;\rm{cm}^3$ Prostornina telesa B: $V_A=V_K+V_P=512\;\rm{cm}^3+85\frac{1}{3}\;\rm{cm}^3=597\frac{1}{3}\;\rm{cm}^3$

Prostornina kocke: $V_K=a^3$ Prostornina piramide: $V_P=\frac{Ov}{3}$ $V_P=\frac{\frac{a^2}{2}\cdot a}{3}$ $V_P=\frac{a^3}{6}$		Ploščina osnovne ploskve piramide: $O=a_1^2=(\frac{a\sqrt2}{2})^2$ $O=\frac{a^2 \; \cdot \; 2}{4}$ $O=\frac{a^2}{2}$ Višina piramide: $v=a$
Prostornina telesa A: $V_A=V_K-V_P=a^3-\frac{a^3}{6}=\frac{5a^3}{6}$ Funkcijski predpis za prostornino telesa A je $V_{A}(a)=\frac{5a^3}{6}$. Prostornina telesa B: $V_B=V_K+V_P=a^3+\frac{a^3}{6}=\frac{7a^3}{6}$ Funkcijski predpis za prostornino telesa B je $V_{B}(a)=\frac{7a^3}{6}$.

Funkcijski predpis za telo A je $V_{A}(a)=\frac{5a^3}{6}$. Preverimo za naš primer, ko $a=8$.

$V_{A}(a)=\frac{5a^3}{6}$
$V_{A}(8)=\frac{5 \;\cdot\; 8^3}{6}=\frac{5 \;\cdot\; 512}{6}=\frac{5 \;\cdot\; 256}{3}=\frac{1\,280}{3}$
$V_{A}(8)=426\frac{2}{3}$

Funkcijski predpis za telo B je $V_{B}(a)=\frac{7a^3}{6}$. Preverimo za naš primer, ko $a=8$.

$V_{B}(a)=\frac{7a^3}{6}$
$V_{B}(8)=\frac{7 \;\cdot\; 8^3}{6}=\frac{7 \;\cdot\; 512}{6}=\frac{7 \;\cdot\; 256}{3}=\frac{1\,792}{3}$
$V_{B}(8)=597\frac{1}{3}$

Prostornina sestavljenih teles

Zgled

Zgled

Telo na desni je sestavljeno iz dveh kvadrov. Izračunaj prostornino telesa s seštevanjem in odštevanjem prostornin. Podatke najdeš pod gumbom.

Zgled

Spomnimo se teles A in B z enakima površinama. Podatke za telesi najdeš na prejšnji strani. Izberi pravilno trditev. A B

a) Izračunaj prostornini teles A in B. b) Prostornino obeh teles izrazi z robom $a$.

Spomnimo se teles A in B z enakima površinama. Podatke za telesi najdeš na prejšnji strani. Izberi pravilno trditev.

A

B

a) Izračunaj prostornini teles A in B.
b) Prostornino obeh teles izrazi z robom $a$.