Površina in prostornina

Površino sestavljenega telesa je enaka vsoti ploščin plaščev vseh treh teles.

Plašč manjšega stožca: $pl_1=\pi r s_1$

$s_1 =\sqrt {r^2+v_1^2}= \sqrt {(3\,{\rm cm})^2+(2\,{\rm cm})^2} \doteq 3,6\,{\rm cm}$

$pl_1\doteq \pi \cdot 3\,{\rm cm}\cdot 3,6\,{\rm cm}\doteq 33,9\,{\rm cm^2}$

Plašč valja: $pl_2=2\pi r v_2$

$pl_2 = 2\pi \cdot 3\,{\rm cm}\cdot 6\,{\rm cm}\doteq 113,1\,{\rm cm^2}$

Plašč večjega stožca: $pl_3=\pi r s_3$

$s_3 =\sqrt {r^2+v_3^2}= \sqrt {(3\,{\rm cm})^2+(6\,{\rm cm})^2} \doteq 6,7\,{\rm cm}$

$pl_3\doteq \pi \cdot 3\,{\rm cm}\cdot 6,7\,{\rm cm}\doteq 63,1\,{\rm cm^2}$

Površina sestavljenega telesa: $P=pl_1+pl_2+pl_3$

$P\doteq 33,9\,{\rm cm^2}+113,1\,{\rm cm^2}+63,1\,{\rm cm^2}$

$P\doteq 210,1\,{\rm cm^2}$

Prostornina sestavljenega telesa je enaka vsoti prostornin obeh stožcev in valja.

Prostornina manjšega stožca: $V_1 =\displaystyle \frac {\pi r^2 v_1}{3}$

$V_1 =\displaystyle \frac {\pi \cdot (3\,{\rm cm})^2\cdot 2\,{\rm cm}}{3}$ 

$V_1=6\pi \,{\rm cm^3}$

Prostornina valja: $V_2 =\pi r^2 v_2$

$V_2 =\pi \cdot (3\,{\rm cm})^2\cdot 6\,{\rm cm}$ 

$V_2=54\pi \,{\rm cm^3}$

Prostornina večjega stožca: $V_3 =\displaystyle \frac {\pi r^2 v_3}{3}$

$V_3 =\displaystyle \frac {\pi \cdot (3\,{\rm cm})^2\cdot 6\,{\rm cm}}{3}$ 

$V_3=18\pi \,{\rm cm^3}$

Prostornina sestavljenega telesa: $V=V_1+V_2+V_3$ 

$V= 6\pi \,{\rm cm^3}+54\pi \,{\rm cm^3}+18\pi \,{\rm cm^3}$

$V=78\pi \,{\rm cm^3}\doteq 245 \,{\rm cm^3}$

Valj in večji stožec sta enako visoka in imata enaki osnovni ploskvi, zato je prostornina teh dveh teles  enaka $\frac {4}{3}$ prostornine valja. K tej prostornini potem prišteješ še prostornino manjšega stožca.

- pravokotnik s stranicama z dolžino $6\,{\rm cm}$ in $3\,{\rm cm}$;

- pravokotnika s stranicama z dolžino $3\,{\rm cm}$ in $0,5\,{\rm cm}$;

- kvadrata s stranico z dolžino $3\,{\rm cm}$;

- lika, ki ju dobimo iz pravokotnika s stranicama dolžine $6\,{\rm cm}$ in $3\,{\rm cm}$, ki mu izrežemo polovico kroga s premerom $5\,{\rm cm}$.

Ukrivljena ploskev je enaka polovici plašča valja s polmerom dolžine $2,5\,{\rm cm}$ in višine $3\,{\rm cm}$. 

Pri računanju površine telesa si pomagajmo z narisano mrežo.

$P =2p_1+2p_2+2p_3+p_4+p_5$

$p_1 = 6\,{\rm cm}\cdot 3\,{\rm cm}-\frac {\pi (2,5\,{\rm cm})^2}{2}\doteq 8,2\,{\rm cm^2}$

$p_2=3\,{\rm cm}\cdot 0,5\,{\rm cm}=1,5\,{\rm cm^2}$

$p_3=3\,{\rm cm}\cdot 3\,{\rm cm}=9\,{\rm cm^2}$

$p_4=6\,{\rm cm}\cdot 3\,{\rm cm}=18\,{\rm cm^2}$

$p_5\doteq 7,9\,{\rm cm}\cdot 3\,{\rm cm}\doteq 23,7\,{\rm cm^2}$

$P\doteq 2\cdot 8,2\,{\rm cm^2}+2\cdot 1,5\,{\rm cm^2}+2\cdot 9\,{\rm cm^2}+18\,{\rm cm^2}+23,7\,{\rm cm^2}$

$P\doteq 79,1\,{\rm cm^2}$

Prostornina kvadra $V_1$:

$V_1 = 6\,{\rm cm}\cdot 3\,{\rm cm}\cdot 3\,{\rm cm}$

$V_1= 54\,{\rm cm^3}$

Prostornina polovice valja $V_2$:

$V_2 = \frac {\pi r^2 v}{2}$

$V_2= \displaystyle \frac {\pi (2,5\,{\rm cm})^2\cdot 3\,{\rm cm}}{2}$

$V_2\doteq  29,5\,{\rm cm^3}$

Prostornina sestavljenega telesa $V$:

$V=V_1-V_2$ 

$V\doteq 54\,{\rm cm^3}-29,5\,{\rm cm^3}$

$V\doteq 24,5\,{\rm cm^3}$

Višina enakostraničnega valja $v_1 = 2r$.

Stranica enakostraničnega stožca $s=2r$.

Višina enakostraničnega stožca:

$v_2=\sqrt {s^2-r^2}=\sqrt {4r^2-r^2}=\sqrt {3r^2}=r\cdot \sqrt {3}$

Površina sestavljenega telesa ($P$) je enaka vsoti ploščine osnovne ploskve ($O$), plašča valja ($pl_1$) in plašča stožca ($pl_2$).

$O=\pi r^2$

$pl_1= 2\pi r v_1=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2$

$pl_2= \pi r s=\pi r\cdot 2r=2\pi r^2$

$P=O+pl_1+pl_2$

$P= \pi r^2+4\pi r^2+2\pi r^2$

$P=7\pi r^2$

Prostornina sestavljenega telesa ($V$) je enaka vsoti prostornine valja ($V_1$) in stožca ($V_2$).

$V_1=\pi r^2v_1$

$V_1=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$

$V_2=\displaystyle \frac { \pi r^2 v_2}{3}=\displaystyle \frac { \pi r^2 \cdot r\sqrt {3}}{3}=\displaystyle \frac { \pi \cdot \sqrt {3}\cdot r^3}{3}$

$V=V_1+V_2$

$V= 2\pi r^3+\displaystyle \frac { \pi \cdot \sqrt {3}\cdot r^3}{3}$

$V=\pi r^3\cdot (2+\displaystyle \frac {\sqrt{3}}{3})=\pi r^3\cdot (\displaystyle \frac {6+\sqrt{3}}{3})$