Površina in prostornina

Površina vrtenine je enaka vsoti:

- ploščine kroga: $p$ ($r=4\,{\rm cm}$),

- ploščine plašča valja: $pl$ ($r=4\,{\rm cm},\, v=6\,{\rm cm}$),

- ploščine krožnega kolobarja: $p_k$ ($r=4\,{\rm cm},\, r_1=2\,{\rm cm}$),

- površine polovice krogle: $P_1$ ($r_1=2\,{\rm cm}$).

$p=\pi r^2=\pi \cdot (4\,{\rm cm})^2=16\pi\,{\rm cm^2}$

$pl=2\pi rv=2\pi \cdot 4\,{\rm cm}\cdot 6\,{\rm cm}=48\pi\,{\rm cm^2}$

$p_k=\pi r^2-\pi r_1^2=\pi\cdot (4\,{\rm cm})^2-\pi\cdot (2\,{\rm cm})^2=12\pi\,{\rm cm^2}$

$P_1=\frac {1}{2}\cdot 4\pi r_1^2=2\pi r_1^2=2\pi \cdot (2\,{\rm cm})^2=8\pi\,{\rm cm^2}$

$P=p+pl+p_k+P_1$

$P=16\pi\,{\rm cm^2}+48\pi\,{\rm cm^2}+12\pi\,{\rm cm^2}+8\pi\,{\rm cm^2}$

$P= 84\pi\,{\rm cm^2}\doteq 263,9\,{\rm cm^2}$

Prostornina vrtenine je enaka razliki prostornin valja ($r=4\,{\rm cm},\, v=6\,{\rm cm}$) in polkrogle ($r_1=2\,{\rm cm}$).

$V=\pi r^2v-\displaystyle \frac {1}{2}\cdot \displaystyle \frac {4\pi r_1^3}{3}$

$V=\pi\cdot (4\,{\rm cm})^2\cdot 6\,{\rm cm}-\displaystyle \frac {1}{2}\cdot \displaystyle \frac {4\pi\cdot (2\,{\rm cm})^3}{3}$ 

$V\doteq 301,6\,{\rm cm^3}-16,8\,{\rm cm^3}$

$V\doteq 284,8\,{\rm cm^3}$

$V_{valja}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$

$V_{krogle}=\displaystyle \frac {4\pi r^3}{3}$

$V_{valja}:V_{krogle}=2\pi r^3:\displaystyle \frac {4\pi r^3}{3}=2:\displaystyle \frac {4}{3}=6:4=3:2$

Plašč enakostraničnega valja $pl=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2$.

Površina krogle $P=4\pi r^2$.

$pl:P=4\pi r^2:4\pi r^2=1:1$

$P_{valja}=6\pi r^2$

$P_{krogle}=4\pi r^2$

$P_{valja}:P_{krogle}=6\pi r^2:4\pi r^2=6:4=3:2$