2. Talesov izrek

Izrazi
Enačbe in neenačbe
Geometrijski elementi v prostoru
Linearna funkcija
Obdelava podatkov
Razmerje in podobnost
Oglata telesa
Okrogla telesa
Verjetnost in kombinatorika
- Poskus, dogodek, izid 497
- Računanje verjetnosti 503

2. Talesov izrek

Spodnjo sliko preriši v zvezek. Opiši medsebojno lego premic $p_{1}$ in $p_{2}$ ter medsebojno lego premic $r$ in $s$. Vključi „dolžine odsekov“ in izračunaj neznano dolžino $c_2$. Pojasni postopek računanja.

Premici $r$ in $s$ se sekata v točki $S$. Premici $p_1$ in $p_2$ sta vzporedni. Vzporednici sekata premici $r$ in $s$. Presečišča premic so oglišča dveh podobnih trikotnikov, trikotnika $SAB$ in trikotnika $SA'B'$.

$\triangle SAB \sim \triangle SA'B'$

Neznano dolžino $c_2$ lahko izračunamo z zapisom sorazmerja istoležnih stranic v podobnih trikotnikih. Daljici $a_1$ in $a_2$ sta istoležni, saj ležita v podobnih trikotnikih nasproti kota $\beta$. Daljici $c_1$ in $c_2$ sta istoležni, saj ležita v podobnih trikotnikih nasproti kota $\varphi$. Zato je $a_{2}:a_{1}=c_{2}:c_{1}$.

Za $a_2 = 33\;\rm{e}$, $a_1 = 22\;\rm{e}$ in $c_1 = 11\;\rm{e}$ je:

$a_{2}:a_{1}$	$=$	$c_{2}:c_{1}$
$33\;\rm{e}:22\;\rm{e}$	$=$	$c_{2}:11\;\rm{e}$
$22\;\rm{e} \cdot$ $c_{2}$	$=$	$33\;\rm{e} \cdot 11\;\rm{e}$
$c_{2}$	$=$	$\frac{33\;\rm{e} \;\cdot \;11\;\rm{e}}{22\;\rm{e}}$
$c_{2}$	$=$	$16,5\;\rm{e}$

Zgled

V zvezek nariši poltraka $p$ in $r$ s skupnim izhodiščem $S$ ter kotom med poltrakoma $60^\circ$. Na poltraku $p$ označi točki $A$ in $A'$ tako, da bo $|SA| = 2\;\rm{cm}$ in $|SA'|=5\;\rm{cm}$. Na poltraku $r$ označi točko $B$ tako, da bo $|AB| = 3\;\rm{cm}$ in točko $B'$ tako, da bo trikotnik $SAB$ podoben trikotniku $SA'B'$. Izračunaj dolžino daljice $A'B'$.

Daljici $SA$ in $SA'$ sta v enakem sorazmerju kot daljici $AB$ in $A'B'$, saj sta trikotnika $SAB$ in $SA'B'$ podobna.
Zapišemo sorazmerje:

$\|SA'\| : \|SA\|$	$=$	$\|A'B'\| : \|AB\|$
$5\;\rm{cm}:2\;\rm{cm}$	$=$	$\|A'B'\|:3\;\rm{cm}$
$2\;\rm{cm} \cdot$ $\|A'B'\|$	$=$	$5\;\rm{cm} \cdot 3\;\rm{cm}$
$\|A'B'\|$	$=$	$\frac{5\;\rm{cm} \; \cdot \; 3\;\rm{cm}}{2\;\rm{cm}}$
$\|A'B'\|$	$=$	$7,5\;\rm{cm}$

Če vzporednici sekata poltraka s skupnim vrhom, nastaneta podobna trikotnika. Razmerje dolžin istoležnih daljic (stranic trikotnikov) na enem poltraku je enako razmerju dolžin istoležnih daljic (stranic trikotnikov) na vzporednicah. Dolžine posameznih daljic imenujemo tudi odseki.

Zgled