Povzetek

Homogena trigonometrična enačba $n$-te stopnje je enačba, v kateri je pri vsakem členu vsota eksponentov potenc izrazov $\sin x$ in $\cos x$ enaka $n$. Če enačba ni razcepna, jo rešimo tako, da jo delimo s $\cos^nx$. Če je razcepna, izpostavimo skupni faktor.

$\sin x=\cos x$ je enačba prve stopnje. Rešimo jo tako, da jo delimo s $\cos x$, $\cos x\neq 0$.
$\sin^2x-\sin x\cos x-2\cos^2x=0$ je enačba druge stopnje. Rešimo jo tako, da jo delimo s $\cos^2 x$, $\cos^2 x\neq 0$.

Enačba $2\sin^2x-\sin x\cos x-\cos^2x-1=0$ na videz ni homogena. Če zamenjamo $1=\sin^2x+\cos^2x$, dobimo homogeno enačbo.

Homogeno enačbo smemo deliti z ustrezno potenco $\cos x$, saj bi v primeru, da je $\cos x=0$, moralo veljati, da je tudi $\sin x=0$. Ker funkciji sinus in kosinus nista nikoli obe hkrati $0$, z deljenjem ne izgubimo nobene družine rešitev.

Enačbo oblike $a\sin x+b\cos x+c=0$ rešujemo z uvedbo polovičnih kotov tako, da v enačbi uporabimo zveze:

$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$
$\cos x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}$
$c=c(\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2})$

Po uvedbi polovičnih kotov nastane razcepna ali homogena enačba, ki jo rešimo po prej opisanih postopkih.

Povzetek

1. Rešitve enačbe $\sin x-\sqrt 3\cos x=0$ so:

2. Rešitve enačbe $\sin x+\cos x-1=0$ so:

3. Rešitve enačbe $\cos (11x)\cos (5x)=\cos (7x)\cos x$ so: