Osnovni zgledi modeliranja

V prejšnjem poglavju smo spoznali, da empirični pristop modeliranja opazovanega pojava pomeni poiskati funkcijo, ki se danim podatkom najbolj prilega. To funkcijo imenujemo prilagoditvena funkcija. Pogosto se za vrsto funkcije odločimo na podlagi poznavanja in razumevanja pojava. V nekaterih primerih pa o pojavu ne vemo ničesar, zato pristopimo k reševanju naloge povsem matematično.

V tem poglavju bomo raziskovali pojave, v katerih bodo količine povezane linearno, eksponentno ali potenčno.

Premisli in oceni, kakšna odvisnost velja med danima količinama. Za linearno odvisnost vstavi L, za potenčno odvisnost vstavi P in za eksponentno E. Primerov ni treba reševati.

L	Višina sveče v odvisnosti od časa gorenja sveče.
P	Masa kroglice v odvisnosti od premera kroglice.
E	Število bakterij pri njihovem razmnoževanju v odvisnosti od časa.
L	Hitrost vozila pri enakomerno pospešeni vožnji v odvisnosti od časa.
E	Temperatura tekočine, ki smo jo segreli na $100^\circ$ in odstavili z grelnika, v odvisnosti od časa.
P	Gostota zvočnega toka v odvisnosti od oddaljenosti od zvočnika.

Z omenjenimi primeri se bomo ukvarjali v nadaljevanju.

Ponovitev

1. Poveži grafe funkcij s poimenovanji funkcij, ki jim pripadajo.

2. V pravokotni koordinatni sistem nariši točki $A(2,3)$ in $B(4,12)$. Zapiši enačbe linearne funkcije ($f(x)=kx+n$), eksponentne funkcije ($g(x)=a\cdot b^x$) in potenčne funkcije ($h(x)=a\cdot x^b$), katerih grafi potekajo skozi dani točki. Vse tri grafe tudi nariši.

		Družina $f(x)=x^n$, $n\in\mathbb{N}$. Za sodi $n$ so funkcije sode, nenegativne, potekajo skozi točke $(-1,1)$, $(0,0)$ in $(1,1)$. Za lihi $n$ so funkcije lihe, naraščajoče, potekajo skozi točke $(-1,-1)$, $(0,0)$ in $(1,1)$. Funkcije imajo ničlo v $x=0$ in začetno vrednost $f(x)=0$.

		Družina $f(x)=x^{-n}$, $n\in\mathbb{N}$. Funkcije imajo vodoravno asimptoto abscisno os in navpično asimptoto ordinatno os. Za sodi $n$ so funkcije sode, pozitivne in potekajo skozi točki $(-1,1)$ in $(1,1)$. Za lihi $n$ so funkcije lihe in potekajo skozi točki $(-1,-1)$ in $(1,1)$. Funkcije nimajo ničle niti začetne vrednosti.

Osnovni zgledi modeliranja

Premisli in oceni, kakšna odvisnost velja med danima količinama. Za linearno odvisnost vstavi L, za potenčno odvisnost vstavi P in za eksponentno E. Primerov ni treba reševati.

Ponovitev

2. V pravokotni koordinatni sistem nariši točki $A(2,3)$ in $B(4,12)$. Zapiši enačbe linearne funkcije ($f(x)=kx+n$), eksponentne funkcije ($g(x)=a\cdot b^x$) in potenčne funkcije ($h(x)=a\cdot x^b$), katerih grafi potekajo skozi dani točki. Vse tri grafe tudi nariši.

3. Primerjaj družini funkcij $f(x)=x^n$ in $g(x)=x^{-n}$, $n\in\mathbb{N}$.