Ploščina tetivnega štirikotnika

Štirikotnik je tetivni, če mu je mogoče očrtati krog. (Njegove stranice so tetive istega kroga.)

Nasprotna kota v tetivnem štirikotniku morata biti suplementarna.

Štirikotnik razdelimo z diagonalo $f=BD$ na dva trikotnika. Ploščina je potem enaka

$S=\frac{1}{2}ad{\rm sin}\alpha+\frac{1}{2}bc{\rm sin}\gamma$.

Ker sta kota suplementarna, velja ${\rm sin}\gamma={\rm sin}\alpha$. Torej

$S=\frac{1}{2}{\rm sin}\alpha(ad+bc)$.

Izraz kvadriramo in pomnožimo s $4$. Nato nadomestimo sinus s kosinusom.

$4S^2= {\rm sin^2}\alpha(ad+bc)^2=(1-{\rm cos^2}\alpha)(ad+bc)^2$
$4S^2=(ad+bc)^2-(ad+bc)^2{\rm cos}^2\alpha$

Zdaj uporabimo kosinusni izrek in izrazimo diagonalo $f$ v obeh trikotnikih.

$a^2+d^2-2ad{\rm cos}\alpha=b^2+c^2-2bc{\rm cos\gamma}$

Za kosinuse suplementarnih kotov velja ${\rm cos}\gamma=-{\rm cos}\alpha$, kar uporabimo v gornji enakosti in iz nje izračunamo

$(ad+bc){\rm cos}\alpha=\frac{1}{2}(a^2+d^2-b^2-c^2)$.

Ta izraz kvadriramo in uporabimo v obrazcu za ploščino štirikotnika.

$4S^2=(ad+bc)^2-\frac{1}{4}(a^2+d^2-b^2-c^2)^2$
$16S^2=4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2$

Izraz razcepimo s pravilom za razliko dveh kvadratov, preuredimo in uporabimo isto pravilo še enkrat.

$16S^2=(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2)\cdot$
$\cdot(2ad+2bc -a^2-d^2+b^2+c^2)=$
$=((a+d)^2-(b-c)^2)((b+c)^2-(a-d)^2)=$
$=(a+d+b-c)(a+d-b+c)\cdot$
$\cdot(b+c+a-d)(b+c-a+d)$

$S^2=\frac{a+d+b-c}{2} \frac{a+d-b+c}{2}\frac{b+c+a-d}{2}\frac{b+c-a+d}{2}=$
$=\frac{a+d+b+c-2c}{2} \frac{a+d+b+c-2b}{2}\frac{b+c+a+d-2d}{2}\frac{b+c+a+d-2a}{2}$

Za polovico obsega uporabimo oznako $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ in dobimo

$S^2=(s-c)(s-b)(s-d)(s-a)$.

Končno izraz še korenimo.

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$