Prostornina

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Zgled

Izračunajmo prostornino štiristrane prizme, ki je visoka $3$ cm, njena osnovna ploskev pa je enakokrak trapez z osnovnicama dolžin $10$ cm in $4$ cm in krakoma dolžine $5$ cm.

Zapiši obrazec za prostornino prizme.
Izračunaj dolžino višine trapeza.
Kako izračunamo ploščino trapeza (osnovna ploskev)?

Prostornina prizme
$V=S_O \cdot v$
Vstavimo obrazec za ploščino trapeza.
$V=\frac{a+c}{2} \cdot v_t \cdot v$
Izračunati moramo višino trapeza $v_t$.

Po Pitagorovem izreku izračunamo višino trapeza $v_t$.
$v_t=\sqrt{5^2-(\frac{10-4}{2})^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm
Prostornina prizme
$V=\frac{10+4}{2} \cdot 4 \cdot 3=84$ cm$^3$

Zgled

Imamo tri tanke deske dimenzij $1$ m × $3$ m. Iz njih sestavimo ogrodje, ki ga položimo na tla. Vanj nasujemo pšenico. Kako naj sestavimo ogrodje, da bomo lahko vanj nasuli največ pšenice? Koliko kilogramov pšenice lahko nasujemo v ogrodje, če ima liter pšenice maso $0,7$ kg?

Razmisli, kako visoko lahko sega pšenica, če je vsaj ena deska postavljena leže (rob dolžine $3$ m leži na tleh, višina je $1$ m). Kateri dve postavitvi bosta zato najbolj primerni za največjo prostornino?

Najbolj primerni za največjo prostornino bosta naslednji dve postavitvi:
1. postavitev: Vse tri deske so postavljene pokončno.
Osnovni robovi prizme so tako dolgi $1$ m, stranski pa $3$ m.
2. postavitev: Vse tri deske so postavljene leže.
Osnovni robovi prizme so tako dolgi $3$ m, stranski pa $1$ m.

1. postavitev
$V=S_O\cdot v=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\cdot v=\frac{1^2 \sqrt{3}}{4}\cdot 3\dot{=}1,299$ m$^3$
2. postavitev
$V=S_O\cdot v=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\cdot v=\frac{3^2 \sqrt{3}}{4}\cdot 1\dot{=}3,897$ m$^3$

Vse tri deske moramo postaviti leže. V ogrodje lahko nasujemo $2728$ kg pšenice.