Iskanje presečišč

$p(x)=q(x)$

$- \frac{1}{16}x^3+\frac{3}{16}x^2+\frac{17}{16}x+\frac{29}{16}=\frac{1}{16}x^3+\frac{1}{16}x^2-\frac{1}{16}x+\frac{47}{16}$

Enačbo pomnožimo s $16$.
$-x^3+3x^2+17x+29=x^3+x^2-x+47$

Vse člene damo na eno stran enačbe.
$-2x^3+2x^2+18x-18=0$

Enačbo delimo z $2$ in rešimo.
$x^3-x^2-9x+9=0$
$x^2(x-1)-9(x-1)=0$
$(x-1)(x^2-9)=0$
$(x-1)(x-3)(x+3)=0$
$x_1=3, x_2=1, x_3=-3$

Za vsako $x$-koordinato izračunamo pripadajočo $y$-koordinato tako, da $x$ vstavimo v $p(x)$ ali $q(x)$ (pri obeh dobimo enak rezultat).

$y_1=- \frac{1}{16}\cdot 3^3+\frac{3}{16}\cdot 3^2+\frac{17}{16}\cdot 3+\frac{29}{16}=3$
$\Rightarrow P_1(3,5)$

$y_2=- \frac{1}{16}\cdot 1^3+\frac{3}{16}\cdot 1^2+\frac{17}{16}\cdot 1+\frac{29}{16}=3 $
$\Rightarrow P_1(1,3)$

$y_3=- \frac{1}{16}\cdot (-3)^3+\frac{3}{16}\cdot (-3)^2+\frac{17}{16}\cdot (-3)+\frac{29}{16}=3$
$\Rightarrow P_1(-3,2)$

$p(x)=q(x)$
$2x^3+6x^2+5=x^3-9x+1$
$x^3+6x^2+9x+4=0$

$x_1=-4, x_{2, 3}=-1$
$y_1=2\cdot (-4)^3+6\cdot(-4)^2+5=-27 \Rightarrow P_1(-4, -27)$
$y_2=2\cdot (-1)^3+6\cdot(-1)^2+5=9 \Rightarrow P_2(-1, 9)$

Ker ima enačba $p(x)=q(x)$ dvojno rešitev $x_{1,2}=-1$, se v točki $P_2(-1, 9)$ grafa polinomov $p$ in $q$ dotikata.

Premico zapiši v eksplicitni obliki: $y_{premice}=kx+n$.

• Ker presečišče leži na grafu $p$, velja $P(x,p(x))$.
• Ker presečišče leži na premici $q$, velja $p(x,y_{premice})$.
• V presečišču torej velja: $p(x)=y_{premice}$.

Premico zapišemo v eksplicitni obliki.
$\frac{x}{3}+\frac{y}{9}=1$
$3x+y=9$
$y=-3x+9$

Rešimo enačbo.
$p(x)=y$
$x^4+5x^3-3x+9=-3x+9$
$x^4+5x^3=0$
$x^3(x+5)=0$
$x_{1,2,3}=0, x_4=-5$
$y_1=-3\cdot 0+9=9 \Rightarrow P_1(0,9)$
$y_4=-3\cdot (-5)+9=24 \Rightarrow P_4(-5, 24)$