Naloge

14.

Izračunaj natančno vrednost izraza $\displaystyle \frac{5\cos x+2\sin x}{4\sin x+6\cos x}$, če je $\tan x= \frac{1}{2}$.

15.

Poenostavi izraze.
a) $\displaystyle \frac{1}{\cos x}- \frac{(1+\cot^2 x)(\cos^{-1} x-\cos x )}{\sin^2 x } $
b) $\displaystyle \sin^2x+\frac{\cos x-\cos^3 x}{(1+\cot^2x)^{-1}}\cdot \cos x$
c) $\displaystyle \frac{1+\cot^2x}{\cot x}\cdot\frac{\cos^2x\sin^2x+\sin^4x}{\cos^{-2}x-1}$
č) $\displaystyle \frac{\sin x-\sin^3 x}{(1+\tan^2x)^{-1}}\cdot \sin x+\cos^2x$

16.

Preveri, ali so funkcije sode ali lihe. Za liho funkcijo vstavi L, za sodo funkcijo S ter za funkcijo, ki ni niti soda niti liha, vstavi N.

L	$f(x)=\tan x+x\cos x+\sin x\cos x$
S	$f(x)=\sin^2x+x\tan x-x^3\cot x$
N	$f(x)=\tan x+\cos x+x\cot x$
L	$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x\tan x-\cot^2 x+2}{\tan x+\cot x}$

17.

V enotski kotomerni krožnici upodobi kote, ki na intervalu $[0,2\pi]$ ustrezajo pogoju:
a) $\tan \alpha<\frac{1}{2}$
b) $\cot \alpha >-\frac{3}{4} $
c) $\tan \alpha >0 $ in $\cos\alpha<0$

18.

Poenostavi izraze.
a) $\displaystyle \left(\frac{\sin^4 x+\sin^2 x \cos^2 x}{(1+\cot^2 x)(\cos^{-1} x-\cos x )}\right)^{-1}-\frac{\sin^{-1}x \cdot \tan x}{\cos^2 x(1+\tan^2 x)}$
b) $\displaystyle \frac{ \sin^{-2}x\cdot \cot x}{(1+\cot^2 x)\cos x }-\frac{(1+\tan^2 x)(\sin^{-1} x-\sin x )}{\cos^4x+\sin^2x \cos^2 x } $
c) $\displaystyle \frac{(\sin^{-1}x-\sin x)(1+\cot^2 x)\sin x }{(1+\tan^2 x)^{-1} }+ \frac{\cos^{-1}x-\cos x }{\cos x (1-\cos^2 x) } $
č) $\displaystyle \frac{ \tan x}{\sin x\cos^2 x(1+\tan^2 x)}- \frac{(1+\cot^2 x)(\cos^{-1} x-\cos x )}{\sin x(\sin^3 x+\sin x \cos^2 x)} $

19.

Izračunaj natančno vrednost izrazov.
a) $\tan^2\alpha+\cot^2\alpha$, če je $\tan\alpha=3$
b) $\displaystyle \frac{\tan^3\alpha+\cot^3\alpha}{\tan\alpha+\cot\alpha}$, če je $\displaystyle\sin\alpha=-\frac{3}{5}$ in $\displaystyle\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$