Trojni koti

V nadaljevanju bomo poskusili najti zvezo med $\sin x$ in $\sin(3x)$. Označi tiste zapise, ki imajo enako vrednost kot $\sin(3x)$.

$\sin(x+2x)$

$\sin(x+x+x)$

$\sin(5x-2x)$

$\sin(x+x+x+2\pi)$

Zapis $\sin(3x)$ lahko preoblikujemo na veliko načinov, eden pa je najprimernejši za uporabo adicijskega izreka. Smiselno dopolni naslednje izraze.

$\sin(3x)=\sin($ 2 $x+x)=$

$\quad =$ sin $(2x)\cdot \cos$ x $+\cos($ 2x $)\cdot \sin x=$

$\quad =$ 2 $\sin x\cdot $ cos $^2x+($ cos $^2x-$ sin $^2x)\cdot \sin x$

Če v zadnji vrstici nadomestimo $\cos^2x$ z $(1-\sin^2x)$ in izraze nato uredimo, dobimo obrazec za sinus trojnega kota.

$$\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x$$

Izračunaj vrednosti $\sin90°$ in $\sin135°$ po tem obrazcu.

Podobno izpeljemo obrazec za kosinus trojnega kota.

$$\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x$$

Izraz z večkratnimi koti skrči in ga dodaj k tistemu izrazu na levi, ki ima enako vrednost.

Nekatere izraze lahko zapišemo z dvojnimi in trojnimi koti: $\sin(6x)$, $\cos(12x)$ ...