Prostornina

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Prostornina piramide

Videli smo, da je prostornina piramide enaka tretjini prostornine enako visoke prizme s skladno osnovno ploskvijo. Utemeljimo.

Prostornina $3$-strane piramide
Izberimo poljubno $3$-strano piramido. Oglejmo si enako visoko pokončno prizmo s skladno osnovno ploskvijo. Oglej si animacijo in utemelji spodnje enakosti.

$V_{modre \ piramide}=V_{rumene \ piramide} = V_{zelene \ piramide}$
$V_{rumene\ piramide}=\frac{1}{3}V_{prizme}$
$V_{začetne\ piramide}=\frac{1}{3}V_{prizme}$

$V_{modre \ piramide}=V_{rumene \ piramide}$

Ker sta modra in rumena piramida enako visoki s skladnima osnovnima ploskvama, imata po Cavalierijevem pravilu tudi enaki prostornini.

$V_{rumene\ piramide}=V_{zelene\ piramide}$

Ker sta rumena in zelena piramida enako visoki s skladnima osnovnima ploskvama, imata po Cavalierijevem pravilu tudi enaki prostornini.

$V_{modre \ piramide}=V_{zelene\ piramide}$

Prostornini modre in zelene piramide sta enaki, ker sta obe enaki prostornini rumene piramide.

$V_{rumene\ piramide}=\frac{1}{3}V_{prizme}$

Ker imajo rumena, zelena in modra piramida enake prostornine, je prostornina vsake izmed njih enaka tretjini prostornine prizme.

$V_{začetne\ piramide}=\frac{1}{3}V_{prizme}$

Ker sta začetna in rumena piramida enako visoki s skladnima osnovnima ploskvama (pozorno beri besedilo pred animacijo), imata po Cavalierijevem pravilu tudi enaki prostornini.

Zapiši obrazec za prostornino tristrane piramide z višino $v$ in ploščino osne ploskve $S_O$.

$V=\frac{1}{3}S_Ov$

Zgled

Prostornina pravilne enakorobe $4$-strane piramide je $36 \sqrt{2}\,\rm dm^3$. Koliko so dolgi njeni robovi?

1. Višino piramide izrazi z dolžino roba.
2. Zapiši obrazec za prostornino piramide in vanj vstavi izraženo višino.
3. Izračunaj dolžino roba.

Višina piramide
$v=\sqrt{a^2-(\frac{a \sqrt{2}}{2})^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Prostornina piramide
$V=\frac{1}{3}a^2 \cdot v=\frac{1}{3}a^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} =\frac{\sqrt{2}a^3}{6}$
$36\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}a^3}{6}$
$a=6\,\rm cm$


$V=$ 40 $\,\rm m^3$			$V=$ 48 $\,\rm m^3$

Prostornina piramide

$V_{modre \ piramide}=V_{rumene \ piramide} = V_{zelene \ piramide}$ $V_{rumene\ piramide}=\frac{1}{3}V_{prizme}$ $V_{začetne\ piramide}=\frac{1}{3}V_{prizme}$

Zapiši obrazec za prostornino tristrane piramide z višino $v$ in ploščino osne ploskve $S_O$.

Zgled

Izračunaj prostornino pokončne piramide. Dolžine, označene na sliki, so merjene v metrih, ploščina pa v kvadratnih metrih. Dopolni.

Zgled

Prostornina pravilne enakorobe $4$-strane piramide je $36 \sqrt{2}\,\rm dm^3$. Koliko so dolgi njeni robovi?

$V_{modre \ piramide}=V_{rumene \ piramide} = V_{zelene \ piramide}$
$V_{rumene\ piramide}=\frac{1}{3}V_{prizme}$
$V_{začetne\ piramide}=\frac{1}{3}V_{prizme}$