Razdalja točke do premice

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Oglejmo si pripomoček, ki nam bo prišel prav pri analizi stožnic: obrazec za računanje razdalje od točke do premice.

Razdaljo $d$ med premico $p:\ ax+by+c=0$ in točko $T(x_0, y_0)$ izračunamo po obrazcu: $ \displaystyle {d(T,p)=\frac{|ax_0 +by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

Razdalja točke $T$ do premice $p$ je višina na stranico $AB$ v trikotniku $\bigtriangleup ABT$.

Višino izračunamo iz enakosti $S=\displaystyle \frac{c\cdot v_c}{2}\Rightarrow v_c=\frac{2\cdot S}{c}.$

$v_c=\displaystyle\frac{2\cdot\frac{1}{2}|(x_2-x_1)\cdot (y_0-y_1)-(x_0-x_1)\cdot (y_2-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$

Upoštevajmo, da točki $A$ in $B$ ležita na premici $p$:

$ax_1+by_1+c=0$, $ax_2+by_2+c=0.$

Enakosti odštejemo $a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0$, izrazimo $y_2-y_1=-\frac{a}{b}(x_2-x_1)$, vstavimo v enačbo in enačbo uredimo: $ v_c=\displaystyle \frac{|b(y_0-y_1)+a(x_0-x_1)|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Števec razčlenimo: $ v_c=\displaystyle \frac{|ax_0+by_0-ax_1-by_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Upoštevamo $ax_1+by_1+c=0$ in dobimo: $$v_c=d(T,p)=\displaystyle \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Zgled

Izračunaj razdaljo točke $T(1,-3)$ do premice $6x+8y-7=0$.

$d(T,p)=\displaystyle \frac{|6\cdot 1+8\cdot(-3)-7|}{\sqrt{6^2+8^2}}=2,5$

Rešitev preveri na aktivni sliki desno.

Opomba.

Razdaljo točke $T$ do premice lahko izračunamo tudi tako, da izračunamo razdaljo med točko $T$ in presečiščem med dano premico ter njeno pravokotnico skozi točko $T$.

Razdalja točke do premice

Razdaljo $d$ med premico $p:\ ax+by+c=0$ in točko $T(x_0, y_0)$ izračunamo po obrazcu: $ \displaystyle {d(T,p)=\frac{|ax_0 +by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

Zgled

Izračunaj razdaljo točke $T(1,-3)$ do premice $6x+8y-7=0$.

Zgled

Izračunaj oddaljenost koordinatnega izhodišča od premice $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$. Rešitev preveri na aktivni sliki desno.

Zgled

Izračunaj koordinati točk, ki ležita na abscisni osi in sta od premice $3x-4y+18=0$ oddaljeni $6$ enot.

Zgled

Razmisli, kako bi izračunali razdaljo med dvema vzporednima premicama.

Izračunaj razdaljo med premicama $y=2x-3$ in $y=2x+7$.

Razdalja točke do premice

Razdaljo $d$ med premico $p:\ ax+by+c=0$ in točko $T(x_0, y_0)$ izračunamo po obrazcu: $ \displaystyle {d(T,p)=\frac{|ax_0 +by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

Zgled

Izračunaj razdaljo točke $T(1,-3)$ do premice $6x+8y-7=0$.

Zgled

Izračunaj oddaljenost koordinatnega izhodišča od premice $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$. Rešitev preveri na aktivni sliki desno.

Zgled

Izračunaj koordinati točk, ki ležita na abscisni osi in sta od premice $3x-4y+18=0$ oddaljeni $6$ enot.

Zgled

Razmisli, kako bi izračunali razdaljo med dvema vzporednima premicama. Izračunaj razdaljo med premicama $y=2x-3$ in $y=2x+7$.

Razmisli, kako bi izračunali razdaljo med dvema vzporednima premicama.

Izračunaj razdaljo med premicama $y=2x-3$ in $y=2x+7$.