Splošna oblika enačbe elipse

Pri tem smo označili:
$A=b^2$
$C=a^2$
$D=-2b^2p$
$E=-2a^2q$
$F=b^2p^2+a^2q^2-a^2b^2 $

Vidimo, da sta koeficienta $A$ in $C$ pozitivna. Če sta tudi različna, je to že potreben pogoj, da enačba predstavlja enačbo elipse.

Povedali smo že, da je elipsa ena izmed krivulj drugega reda, ki jih lahko zapišemo z enačbo $$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.$$ Ker obravnavamo le stožnice, katerih simetrijske osi so vzporedne koordinatnima osema, je $B=0$.

$\displaystyle \frac{x^2}{5}+\frac{(y+2)^2}{8}=1$

$8x^2+5(y^2+4y+4)=40$

$8x^2+5y^2+20y+20=40$

$8x^2+5y^2+20y-20=0$

$\displaystyle A\left(x+\frac{D}{2A}\right)^2 -\frac{D^2}{4A}+C\left(y+\frac{E}{2C}\right)^2 -\frac{E^2}{4C}+F=0$

$\displaystyle A\left(x+\frac{D}{2A}\right)^2 +C\left(y+\frac{E}{2C}\right)^2 =\frac{D^2}{4A}+\frac{E^2}{4C}-F$

Ker sta $A$ in $C$ pozitivni števili, bo enačba predstavljala enačbo elipse, če bo $\displaystyle\frac{D^2}{4A}+\frac{E^2}{4C}-F>0$, kar je tudi zadosten pogoj za obstoj elipse.

Če je $\displaystyle\frac{D^2}{4A}+\frac{E^2}{4C}-F=0$, bo enačba predstavljala eno samo realno točko $S(- \frac{D}{2A},-\frac{E}{2C})$.

Če je $\displaystyle\frac{D^2}{4A}+\frac{E^2}{4C}-F<0$, enačba ne predstavlja nobene realne množice točk.

Omenimo še primer, ko je $A=C$. Enačba tedaj predstavlja enačbo krožnice, ki pa je tudi poseben primer elipse.