Splošna oblika enačbe parabole

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Enačbo $(y-b)^2=2p(x-a)$ lahko preuredimo v obliko

$Cy^2+Dx+Ey+F=0.$

Enačbo $(x-a)^2=2p(y-b)$ lahko preuredimo v obliko

$Ax^2+Dx+Ey+F=0.$

Tej obliki enačbe parabole rečemo tudi splošna oblika.

Sam poskusi preoblikovati enačbo parabole s temenom $T(a,b)$ v splošno obliko. Kateri je potreben pogoj, da bo enačba $Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ predstavljala enačbo parabole?

$(y-b)^2=2p(x-a)$

$y^2-2by+b^2=2px-2pa$

$y^2-2px-2by+b^2+2pa=0$

$Cy^2+Dx+Ey+F=0$

$(x-a)^2=2p(y-b)$

$x^2-2ax+a^2=2py-2pb$

$x^2-2ax-2py+a^2+2pb=0$

$Ax^2+Dx+Ey+F=0$

Pri tem smo označili:

$C=1$
$D=-2p$
$E=-2b$
$F=b^2+2pa$

$A=1$
$D=-2a$
$E=-2p$
$F=a^2+2pb$

Vidimo, da je pri eni enačbi parabole $A=0$, pri drugi pa $C=0$. Potreben pogoj, da bo enačba $Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ predstavljala enačbo parabole, je: ali $A=0$ ali pa $C=0$.

Povedali smo že, da je parabola ena izmed krivulj drugega reda, ki jih lahko zapišemo z enačbo $$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.$$ Ker obravnavamo le stožnice, katerih simetrijske osi so vzporedne koordinatnima osema, je $B=0$.

Zgled

Parabolo z enačbo $(y+3)^2= \frac{1}{2}(x-4)$ zapiši v splošni obliki.

$\displaystyle (y+3)^2=\frac{1}{2}(x-4)$

$\displaystyle y^2+6y+9=\frac{1}{2}x-2\;/\cdot 2$

$2y^2+12y+18=x-4$

$2y^2-x+12y+22=0$

Splošno obliko enačbe parabole lahko preoblikujemo tudi nazaj v temensko obliko.
Aktivna slika na desni prikazuje, kako parabolo z enačbo $3y^2+4x-6y-9=0$ preoblikujemo v temensko obliko.

$Cy^2+Dx+Ey+F=0$

$\displaystyle C(y^2 +\frac{E}{C}y)+Dx+F=0$

$\displaystyle C\left( y^2 +2\frac{E}{2C}y+\frac{E^2}{4C^2}\right)-\frac{E^2}{4C}+Dx+F=0$

$\displaystyle C\left(y+ \frac{E}{2C}\right)^2=-Dx-F+\frac{E^2}{4C}$

$\displaystyle C\left(y+ \frac{E}{2C}\right)^2 =-D\left( x+\frac{F}{D}-\frac{E^2}{4CD}\right)$

$\displaystyle \left(y+ \frac{E}{2C}\right)^2 =-\frac{D}{C}\left( x+\frac{4CF-E^2}{4CD}\right)$

Zgled

Zapiši gorišče in enačbo vodnice parabole, ki je graf kvadratne funkcije $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{13}{4}$. Parabolo tudi nariši.

Enačbo grafa kvadratne funkcije $\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{13}{4}$ preoblikujemo v temensko obliko $\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-1)^2+3$ in potem v $(x-1)^2=4(y-3)$. Iz te oblike lahko preberemo $2p=4$ oziroma $p=2$.

Teme: $T(1,3)$

Gorišče: $\displaystyle F\left(a,\frac{p}{2}+b\right)\Rightarrow F\left(1,4\right)$

Vodnica: $\displaystyle y= -\frac{p}{2}+b\Rightarrow y=-1+3 \Rightarrow y=2$

Splošna oblika enačbe parabole

Sam poskusi preoblikovati enačbo parabole s temenom $T(a,b)$ v splošno obliko. Kateri je potreben pogoj, da bo enačba $Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ predstavljala enačbo parabole?

Zgled

Parabolo z enačbo $(y+3)^2= \frac{1}{2}(x-4)$ zapiši v splošni obliki.

Tudi parabolo, ki je graf kvadratne funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$, lahko zapišemo v obliki $Ax^2+Dx+Ey+F=0$. Katero krivuljo dobimo, če graf kvadratne funkcije $f$ prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov? Zapiši gorišče in vodnico grafa kvadratne funkcije $f$.

Zgled

Zapiši gorišče in enačbo vodnice parabole, ki je graf kvadratne funkcije $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{13}{4}$. Parabolo tudi nariši.

Tudi parabolo, ki je graf kvadratne funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$, lahko zapišemo v obliki $Ax^2+Dx+Ey+F=0$.
Katero krivuljo dobimo, če graf kvadratne funkcije $f$ prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov?
Zapiši gorišče in vodnico grafa kvadratne funkcije $f$.