Medsebojna lega premice in stožnice

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Na aktivni sliki spodaj razišči medsebojno lego premice in stožnice (krožnice, elipse, hiperbole in parabole).

Premica ima lahko s krožnico dve različni skupni točki (premica je sekanta), se dotika krožnice v eni točki (premica je tangenta) ali pa premica in krožnica nimata nobene skupne točke (premica je mimobežnica).

Premica ima lahko z elipso dve različni skupni točki (premica je sekanta), se dotika elipse v eni točki (premica je tangenta) ali pa premica in elipsa nimata nobene skupne točke (premica je mimobežnica).

Premica ima lahko s hiperbolo dve različni skupni točki (premica je sekanta), se dotika hiperbole v eni (dvojni) točki (premica je tangenta) ali pa premica in hiperbola nimata nobene skupne točke (premica je mimobežnica).

Premica, vzporedna asimptoti hiperbole, seka hiperbolo v eni sami točki.

Premica ima lahko s parabolo dve različni skupni točki (premica je sekanta), se dotika parabole v eni (dvojni) točki (premica je tangenta) ali pa premica in parabola nimata nobene skupne točke (premica je mimobežnica).

Premica, pravokotna na vodnico parabole, seka parabolo v eni sami točki.

Zgled

Izračunaj presečišči med premico z enačbo $x+y+2=0$ in parabolo z enačbo $y^2=-x$. Nalogo reši grafično in računsko.

Grafično:

Če narišemo premico in parabolo, vidimo, da imata dve skupni točki $-$ presečišči.

Računsko:

Iz enačbe premice izrazimo eno neznanko, na primer $x$:

$x=-y-2$

Ta $x$ vstavimo v enačbo parabole $y^2=-x$:

$y^2=-(-y-2)$

Rešimo kvadratno enačbo:

$y^2-y-2=0$
$(y-2)(y+1)=0$

Dobimo ordinati presečišč:

$y_1=2,\; y_2=-1$

Abscisi presečišč izračunamo tako, da ordinato presečišča vstavimo v eno izmed enačb krivulj, na primer enačbo premice:

$x_1=-4,\; x_2=-1$

Premica in parabola se sekata v dveh točkah:

$P_1(-4,2)$ in $P_2(-1,-1)$

Zgled

V kakšni medsebojni legi sta krivulja z enačbo $x^2+2y^2-4x-4y=0$ in premica z enačbo $y=x-4$? Nalogo reši grafično in računsko.

Grafično:
Krivuljo preoblikujemo: $\frac{(x-2)^2}{6}+\frac{(y-1)^2}{3}=1$
Dobimo enačbo elipse s središčem v točki $S(2,1)$ ter polosema $a=\sqrt{6}$ in $b=\sqrt3$.
Ko narišemo premico z enačbo $y=x-4$, vidimo, da se elipse dotika v točki $P(4,0)$.

Računsko:

Sistem enačb rešimo tako, da $y$ iz enačbe premice vstavimo v enačbo elipse:

$x^2+2(x-4)^2-4x-4(x-4)=0$

Rešimo kvadratno enačbo:

$x^2+2x^2-16x+32-4x-4x+16=0$
$3x^2-24x+48=0$
$x^2-8x+16=0$
$(x-4)^2=0$
$x=4$

Dobimo eno samo rešitev $-$ absciso dotikališča: $x=4$

Izračunamo ordinato dotikališča: $y=0$

Premica in elipsa se dotikata v točki $P(4,0)$.

Zgled

V kakšni medsebojni legi sta premica z enačbo $2x+y+2=0$ in hiperbola z enačbo $4x^2-y^2=4$?
Premica in hiperbola

se sekata v dveh točkah.

se sekata v eni točki.

se dotikata.

nimata skupnih točk.

Napačno.

Pravilno.

Napačno.

Nalogo utemelji računsko. Rešitev preveri na aktivni sliki na levi.

Sistem enačb rešimo tako, da iz enačbe premice izrazimo $y$ in ta izraz vstavimo v enačbo hiperbole:

$4x^2-(-2x-2)^2=4$

Rešimo enačbo:

$4x^2-4x^2-8x-4=4$
$8x=-8$
$x=-1$

Dobimo absciso presečišča: $x=-1$

Izračunamo ordinato presečišča: $y=0$

Premica in hiperbola se sekata v točki $P(-1,0)$.

Na sliki spodaj je naloga rešena v programu Geogebra.

Na sliki lahko vidimo, da je v tem primeru premica vzporedna eni izmed asimptot hiperbole.

Medsebojna lega premice in stožnice

Računanje presečišča premice in stožnice

Zgled

Izračunaj presečišči med premico z enačbo $x+y+2=0$ in parabolo z enačbo $y^2=-x$. Nalogo reši grafično in računsko.

Zgled

V kakšni medsebojni legi sta krivulja z enačbo $x^2+2y^2-4x-4y=0$ in premica z enačbo $y=x-4$? Nalogo reši grafično in računsko.

Zgled

V kakšni medsebojni legi sta premica z enačbo $2x+y+2=0$ in hiperbola z enačbo $4x^2-y^2=4$? Premica in hiperbola

Nalogo utemelji računsko. Rešitev preveri na aktivni sliki na levi.

V kakšni medsebojni legi sta premica z enačbo $2x+y+2=0$ in hiperbola z enačbo $4x^2-y^2=4$?
Premica in hiperbola