Presečišča stožnic

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Zgled

Vzemimo elipso z enačbo $x^2+3y^2=12$ ter krožnico z enačbo $x^2+y^2=r^2$. Razišči, za katero vrednost polmera $r$
a) krožnica in elipsa ne bosta imeli skupnih točk,
b) se bo krožnica dotikala elipse,
c) bo krožnica sekala elipso.
Pri raziskovanju si pomagaj z aktivno sliko spodaj.

Izračunaj še presečišče dane elipse in krožnice, če je polmer krožnice $r=\sqrt{10}$.

Enačbo elipse preoblikujemo: $$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}1$$

Od tod preberemo $a=2\sqrt{3}$ in $b=2$.

Krožnica in elipsa ne bosta imeli skupnih točk, če bo polmer krožnice $r$ večji od dolžine velike polosi ali manjši od dolžine male polosi elipse. $$r>2\sqrt3\; \vee \; r<2$$

Enačbo elipse preoblikujemo: $$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}1$$

Od tod preberemo $a=2\sqrt{3}$ in $b=2$.

Krožnica se bo dotikala elipse, če bo polmer krožnice $r$ enak dolžini velike polosi ali dolžini male polosi elipse. $$r=2\sqrt3\; \vee \; r=2$$

Enačbo elipse preoblikujemo: $$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}1$$

Od tod preberemo $a=2\sqrt{3}$ in $b=2$.

Krožnica bo sekala elipso, če bo polmer krožnice $r$ manjši od dolžine velike polosi in večji od dolžine male polosi elipse. $$2<r<2\sqrt 3$$

Presečišče krožnice in elipse izračunamo tako, da rešimo sistem enačb:

$x^2+3y^2=12$

$x^2+y^2=10$

Enačbi odštejemo:

$2y^2=2$

$y^2=1$

$y=\pm 1$ in $x=\pm 3$

Krožnica in elipsa imata štiri presečišča:

$P_1(3,1),\; P_2(3,-1),\; P_3(-3,1),\; P_4(-3,-1)$

Zgled

Izračunaj presečišče hiperbole z enačbo $x^2-2y^2=8$ in
a) krožnice z enačbo $x^2+y^2=8$;
b) elipse z enačbo $4x^2+y^2=4$;
c) parabole z enačbo $y^2=-x$.
Nalogo reši računsko in grafično.

Rešitev preveri na aktivni sliki spodaj.

Presečišče krožnice in hiperbole izračunamo tako, da rešimo sistem enačb:

$x^2-2y^2=8$

$x^2+y^2=8$

Enačbi odštejemo:

$-3y^2=0$

$y^2=0$

$y=0$

Izračunamo še abscisi presečišč:

$x^2+0^2=8$

$x^2=8$

$x=\pm \sqrt 8$

Krožnica in hiperbola se dotikata v točkah $T_1(-\sqrt 8,0)$ in $ T_2(\sqrt 8,0)$.

Presečišče elipse in hiperbole izračunamo tako, da rešimo sistem enačb:

$x^2-2y^2=8$

$4x^2+y^2=4$

Iz prve enačbe izrazimo $x^2$ in vstavimo v drugo enačbo:

$4(2y^2+8)+y^2=4$

$8y^2+32+y^2=4$

$9y^2=-28$

$y^2=-\frac{28}{9} $

Kvadrat števila ne more biti negativen, zato se elipsa in hiperbola ne sekata.

Presečišče parabole in hiperbole izračunamo tako, da rešimo sistem enačb:

$x^2-2y^2=8$

$y^2=-x$

V prvi enačbi $y^2$ zamenjamo z $-x$:

$x^2-2(-x)=8$

$x^2+2x-8=0$

$(x+4)(x-2)=0$

$x_1=-4,\; x_2=2 $

Izračunamo še ordinati presečišč:

$y^2=-(-4)$

$y^2=4$

$y=\pm 2$

Parabola in hiperbola se sekata v točkah $P_1(-4,-2)$ in $ P_2(-4,2)$.

Prepričamo se lahko, da rešitev $x_2=2$ ne ustreza.

$y^2=-x$

$y^2=-2$

Kvadrat števila ne more biti negativen.