Povzetek

Naj bo polinom $p$ izraz oziroma kompleksna funkcija kompleksne spremenljivke ($p:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$).

Osnovni izrek algebre
Vsak nekonstanten polinom s kompleksnimi koeficienti ima vsaj eno kompleksno ničlo.

Polinom stopnje $n$ ima $n$ ničel ($n≥1$).

Zgled

Polinom $p(x)=x^3-6x^2+1$ ima 3 ničle.
Polinom $p(x)=2x^4+7x-3$ ima 4 ničle.
Polinom $p(x)=x^7-2x+1$ ima 7 ničel.

Ničelna oblika polinoma
Polinom stopnje $n$ z vodilnim koeficientom $a$ in ničlami $x_1, x_2, ..., x_n$ zapišemo v ničelni obliki:

$p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$

Zgled

Polinom $3$. stopnje z ničlami $2, 3, 4$ in vodilnim koeficientom $8$ zapišemo v ničelni obliki:

$p(x)=$ 8 $(x-2)(x-3)(x-$ 4 $)$

Stopnja ničle $c$ je enaka številu linearnih faktorjev $(x-c)$ v ničelni obliki polinoma.

Zgled

Če je $p(x)=3(x-2)^7(x+5)^2(x-7)$, je:
$x=2$ ničla 7 . stopnje,
$x=-5$ ničla 2 . stopnje,
$x=7$ ničla 1 . stopnje.

Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti nastopajo v konjugiranih parih.

Zgled

Če je število $2+3i$ ničla polinoma $p$ z realnimi koeficienti, potem je ničla polinoma $p$ tudi število $2$ - $3i$.

Polinom lihe stopnje z realnimi koeficienti ima vsaj eno realno ničlo.

Zgled

Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti ima lahko:
3 realne ničle,
1 realno in 2 kompleksni ničli.

Vsak polinom lahko zapišemo kot:
• produkt linearnih faktorjev s kompleksnimi koeficienti,
• produkt linearnih in kvadratnih faktorjev z realnimi koeficienti.

<NAZAJ

>NAPREJ386/610