Obnašanje v okolici polov

Funkcija $f(x)=\frac{1}{(x-a)^n}$ ima pri $x=a$ pol stopnje $n$.

Ko se $x$ bliža $a$ z desne, raste $f(x)$ čez vse meje: $f(x)\to \infty$.

Ko se $x$ bliža $a$ z leve, potem $f(x)\to -\infty$ za lihe $n$ in $f(x)\to \infty$ za sode $n$.

Premica $x=a$ je navpična asimptota.

Pri polu lihe stopnje funkcija spremeni predznak, pri polu sode stopnje pa ga ohrani.

Naj bo $x=a$ pol stopnje $k$. Funkcijo $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ lahko zapišemo v obliki $$f(x)=\frac{p(x)}{(x-a)^kq_1(x)}=\frac{1}{(x-a)^k}\cdot\frac{p(x)}{q_1(x)}$$ V bližini točke $a$ se vrednost izraza $\frac{p(x)}{q_1(x)}$ le malo razlikuje od števila $\frac{p(a)}{q_1(a)}$. Značilnosti racionalne funkcije v okolici pola nam določa izraz  $\frac{1}{(x-a)^k}$. Ko se $x$ bliža k $a$, gre $x-a$ proti $0$ in zato $$\frac{1}{(x-a)^k}\to\pm\infty$$ Ko se $x$ bliža $a$, se graf funkcije bliža premici $x=a$, ki je tako navpična asimptota.

Če je $k$ sodo število, je vrednost izraza $(x-a)^k$ v okolici točke $a$ (razen pri $x=a$) povsod pozitivna, torej racionalna funkcija v polu sode stopnje ne spremeni predznaka.

Če je $k$ liho število, je vrednost izraza $(x-a)^k$ levo od točke $a$ negativna, desno pa pozitivna. Racionalna funkcija v polu lihe stopnje spremeni predznak.