Kotne funkcije v enotski krožnici

Pri vseh nalogah, ki sledijo, si pomagaj z aktivno sliko na levi strani.

1. Razloži, zakaj se za ostre kote definiciji v pravokotnem trikotniku in na enotski krožnici ujemata.

Iz pravokotnega trikotnika na levi sliki izrazimo $\sin \alpha=\frac{y}{1}$ in $\cos \alpha=\frac{x}{1}$, od koder sledi $y=\sin \alpha$ in $x=\cos \alpha$.

2. Označi vse pravilne trditve.

3. Dokaži, da za poljuben kot $\alpha$ velja $\sin^2 \alpha +\cos ^2 \alpha=1$.

Za pravokotni trikotnik na sliki zapišemo Pitagorov izrek $$(\cos \alpha)^2+(\sin \alpha)^2=1^2$$ ali krajše $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.$$

4. Na enotski krožnici skiciraj vse kote $\alpha < 360^\circ$, za katere velja:

a) $\sin \alpha =\frac{1}{3}$                b) $\cos \alpha=-\frac{1}{2}$            

a)

b)

5. Izračunaj natančno vrednost za $\sin \beta$, če veš, da za topi kot $\beta$ velja $\cos \beta=-\frac{1}{5}$.

Opomba: Kotne funkcije v enotski kotomerni krožnici so seveda definirane za poljuben kot $\alpha\in\mathbb{R}$ in ne le za $\alpha\in[0,2\pi)$, računanje vrednosti kotnih funkcij za poljuben kot $\alpha\in\mathbb{R}$ pa bomo ponovili v nadaljevanju.