a) $f(x)=\sqrt{2}\cos(3x-\frac{\pi}{4})$

b) Funkcija je definirana za vsa realna števila, zaloga vrednosti je $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, osnovna perioda je $\frac{2\pi}{3}$.

$f(x)=\frac{3}{2} \sin(8x)-\frac{1}{2}\cos(8x)=$

$\qquad =\frac{1}{2} (3\sin(8x)-\cos(8x))$

Iz izraza v oklepaju izpostavimo še $\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$ in dobimo:

$f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{10}( \frac{3}{\sqrt{10}}\sin(8x)-\frac{1}{\sqrt{10}}\cos(8x))$

Vsota kvadratov števila $\frac{3}{\sqrt{10}}$ in $\frac{1}{\sqrt{10}}$ je ena, zato lahko prvega nadomestimo s $\cos C$, drugega pa s $\sin C$. Nato uporabimo obrat adicijskega izreka za sinus in dobimo rešitev.

$f(x)=\frac{\sqrt{10}}{2}\sin(8x-C)$

Število $C$ lahko določimo z žepnim računalom ($C=18,43°$). Maksimalen odmik iz ravnovesne lege meri $\frac{\sqrt{10}}{2}$ cm, kar je približno $1,58$ cm.

Vsak izraz te oblike lahko zapišemo v obliki produkta. Premislimo skupaj.

1. korak: Števili $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ in $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ predstavljata sinus in kosinus istega kota, saj je vsota njunih kvadratov enaka $1$. Zato lahko prvega nadomestimo s $\cos \varphi$, drugega pa s $\sin \varphi$.

2. korak: V začetnem izrazu izpostavimo $\sqrt{a^2+b^2}$, nato upoštevamo prejšnjo ugotovitev.

$a\sin(kx)+b\cos(kx)=$

$=\sqrt{a^2+b^2}\cdot (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(kx)+ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(kx))=$

$=\sqrt{a^2+b^2}\cdot (\cos \varphi \cdot \sin(kx)+ \sin \varphi \cdot \cos(kx))=$

3. korak: Uporabimo ustrezen adicijski izrek v nasprotno smer in dobimo:

$a\sin (kx)+b\cos (kx)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(kx+\varphi)$

$\tan\alpha + \tan\beta=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=$

$\displaystyle \quad =\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

Podobno dokažemo še drugi obrazec.