Izpeljava obrazcev

Iz adicijskih izrekov bomo izpeljali obrazce, s katerimi produkt dveh kotnih funkcij zapišemo kot vsoto oziroma razliko. Začnimo s kosinusom vsote in razlike.

Iz dobljenih enakosti izrazi produkta kotnih funkcij in dopolni spodnja zapisa ($+$, $-$, kotne funkcije).

$\sin\alpha\cdot\sin\beta=$ - $\frac{1}{2}\cdot\big($ cos $(\alpha+\beta)-$ cos $(\alpha-\beta)\big )$

$\cos\alpha\cdot\cos\beta=$ + $\frac{1}{2}\cdot\big($ cos $(\alpha+\beta)$ + $\cos(\alpha-\beta)\big )$

Zgled

a) Razčlenimo produkt po novih obrazcih.

$\qquad \sin30°\cdot\sin40°=-\frac{1}{2}(\cos70°-\cos(-10°))=$

$\qquad \qquad=-\frac{1}{2}(\cos70°-\cos10°)$

b) Razčleni produkt dveh različnih kotnih funkcij tako, da eno izmed njiju zamenjaš z drugo (upoštevaš obrazec za komplementarni kot).

$\qquad \sin80°\cdot\cos40°=\sin80°\cdot \sin$ 50 $°=$

$\qquad \qquad=-\frac{1}{2}(\cos$ 130 $°-\cos$ 30 $°)$

Zadnji primer lahko naredimo tudi drugače; $\sin80°$ nadomestimo s kosinusom ustreznega kota. Preizkusi se in pokaži, da sta rezultata v obeh primerih enaka.

Zadnji primer nam kaže, da obrazca za mešan produkt pravzaprav ne potrebujemo, vendar nam olajša računanje pri splošnih nalogah.
$$\sin\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}\cdot\Big (\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\Big)$$

Izpelji ga tako, da sešteješ adicijska obrazca za sinus vsote in razlike.

<NAZAJ

>NAPREJ102/610