Površina in prostornina

V uvodu smo spoznali obrazec za prostornino krogle.

Prostornina krogle s polmerom dolžine $r$ $$V=\frac{4 \pi r^3}{3}$$

Polmer presečnega kroga v polkrogli: $\sqrt{R^2-h^2}$.

Ploščina presečnega kroga v polkrogli: $S_p=\pi (R^2-h^2)$.

Polmera presečnega kolobarja v valju: $R$ in $h$.

Ploščina presečnega kolobarja v valju: $S_v=\pi R^2-\pi h^2$.

Ker sta polkrogla in valj enako visoka in je $S_p=S_v$ na vsaki višini, imata po Cavalieriejevem pravilu enaki prostornini.

$V_{polkrogle}=V_{valja}-V_{stožca}=\pi R^2 \cdot R - \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R=\frac{2}{3}\pi R^3$

$V_{krogle}=2 \cdot V_{polkrogle}=2 \cdot \frac{2}{3} \pi R^3=\frac{4}{3}\pi R^3$