Očrtana krogla

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Zgled

Pravilni oktaeder ima stranico dolgo, $10\,\rm cm$. Izračunaj dolžino polmera oktaedru očrtane krogle. Če potrebuješ pomoč, si oglej animacijo.

Primerjaj dolžino premera krogle in dolžino diagonale presečnega kvadrata.

Premer krogle je enako dolg kot diagonala presečnega kvadrata.
$R=\frac{d}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}=5 \sqrt{2}\,\rm cm$

Zgled

Imamo leseno kroglo. Iz nje izrežemo največji možen oktaeder. Koliko odstotkov lesa moramo odrezati?

Označi polmer krogle $R$.
Prostornino krogle in prostornino oktaedra izrazi s spremenljivko $R$. Izračunaj, koliko odstotkov prostornine krogle predstavlja prostornina oktaedra.

Prostornina krogle
$V_k=\frac{4 \pi R^3}{3}$
Stranica oktaedra
$a^2+a^2=(2R)^2$
$a=\sqrt{2}R$
Prostornina oktaedra
$V_o=2 \cdot \frac{1}{3}a^2v=2 \cdot \frac{1}{3}(\sqrt{2}R)^2\cdot R=\frac{4}{3}R^3$

Koliko odstotkov prostornine krogle predstavlja prostornina oktaedra?

$V_k$	$\ldots\ldots\ldots$	$100\,\%$
$V_o$	$\ldots\ldots\ldots$	$x\,\%$
$x=\frac{V_o \cdot 100}{V_k}=\frac{\frac{4 R^3}{3}\cdot 100}{\frac{4 \pi R^3}{3}}=31,8\,\%$

Koliko odstotkov prostornine krogle predstavlja prostornina odrezanega lesa?
$100-31,8=68,2\,\%$

Odrezati moramo $68,2\,\%$ lesa.

Zgled

Pravilni tetraeder ima stranico z dolžino $a$. S spremenljivko $a$ izrazi polmer tetraedru očrtane krogle. Če potrebuješ pomoč, si oglej animacijo.

Označi razdaljo od središča krogle do središča osnovne ploskve $x$. Nato dvakrat zapiši Pitagorov izrek za pravokotna trikotnika, ki sta obarvana rdeče. Reši sistem enačb.

Razdalja od središča do oglišča osnovne ploskve
$\frac{2}{3} v=\frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{a \sqrt{3}}{3}$
Pitagorov izrek za majhen trikotnik
$R^2=x^2+(\frac{a \sqrt{3}}{3})^2$
$R^2=x^2+\frac{a^2}{3}$

Pitagorov izrek za velik trikotnik
$a^2=(\frac{a \sqrt{3}}{3})^2+(x+R)^2$
$a^2= \frac{a^2}{3}+(x+R)^2$
$\frac{2}{3}a^2=(x+R)^2$
Enačbo korenimo.
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a=x+R$

Iz druge enačbe izrazimo $x$ in ga vstavimo v prvo enačbo.
$R^2=\frac{a^2}{3}+(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a-R)^2$
Enačbo poenostavimo in izrazimo $R$.
$R=\frac{a \sqrt{6}}{4}$

Izračunaj še razdaljo od središča krogle do središča osnovne ploskve.

$x=\frac{\sqrt{6}}{3}a-R$
$x=\frac{\sqrt{6}}{3}a-\frac{\sqrt{6}}{4}a=\frac{\sqrt{6}}{12}a$