Naloge

Da bi lahko izdelali mrežo valja, potrebujemo podatek o polmeru osnovne ploskve valja in o višini valja. Izračunati bomo morali tudi obseg osnovne ploskve, da bomo lahko narisali plašč valja.

Najprej iz dejstva, da je ploščina plašča trikrat večja od ploščine osnovne ploskve, izrazi višino valja z dolžino polmera osnovne ploskve valja. Nato vstavi dobljeni izraz v formulo za prostornino valja.

Najprej izrazimo višino valja s polmerom osnovne ploskve:

$pl=3\cdot O$

$2\pi \cdot r\cdot v=3\cdot \pi \cdot r^2$ $/:\pi \cdot r$

$2v=3r$ $/:2$

$v=\frac{3r}{2}$

Nato vstavimo dobljen izraz in podatek o prostornini valja v formulo za prostornino valja.

$V=\pi r^2\cdot v$

$12\pi \;{\rm cm^3}=\pi r^2\cdot \frac{3r}{2}$ $/:\pi $

$12 \;{\rm cm^3}= r^2\cdot \frac{3r}{2}$ $/: \frac{3}{2}$

$8\;{\rm cm^3}= r^3$

$r=2\;{\rm cm}$

Sledi, da je višina valja $v=\frac{3r}{2}=3\;{\rm cm}$.

Da bi lahko narisali plašč, potrebujemo še obseg osnovne ploskve:

$o=2\pi \cdot r\doteq 2\cdot 3,\!14 \cdot 2\;{\rm cm}\doteq 12,\!56\;{\rm cm}$, če računamo s približkom $\pi\doteq 3,\!14$.

	$v ({\rm cm})$	$V ({\rm cm^3})$
$1.$ valj	$2$	$2\pi$
$2.$ valj	$4$	$4\pi$
$3.$ valj	$6$	$6\pi$
$4.$ valj	$8$	$8\pi$
$5.$ valj	$10$	$10\pi$
$\dots$
$n.$ valj	$2n$	$2n\pi$

	$r ({\rm cm})$	$V ({\rm cm^3})$
$1.$ valj	$2$	$12\pi$
$2.$ valj	$4$	$48\pi$
$3.$ valj	$6$	$108\pi$
$4.$ valj	$8$	$192\pi$
$5.$ valj	$10$	$300\pi$
$\dots$
$n.$ valj	$2n$	$12\pi \cdot n^2$

V zavitku je $100$ kred, na njem pa piše $932\;{\rm g}$. Gostota krede je $\rho=2\,000\;{\rm g/dm^3}$. Izračunaj volumen krede.

Iz lesenega hloda ($\rho=0,\!8\;{\rm kg/dm}$) valjaste oblike s polmerom $6\;{\rm dm}$ in višino $7\;{\rm dm}$ izrežemo največjo možno pravilno štiristrano prizmo. Z računalom izračunaj maso odpada (za število $\pi$ uporabi tipko $\pi$).

Valjem s polmerom $r=1\;{\rm cm}$ spreminjaj višino. Višine valjev naj bodo $2 \;{\rm cm}, 4 \;{\rm cm}, 6 \;{\rm cm}, 8 \;{\rm cm}, 10 \;{\rm cm}\;\dots $ Izračunaj prostornine valjev. Zapiši prostornino $n$-tega valja po tem pravilu.

Valjem z višino $3\;{\rm cm}$ spreminjaj polmer. Polmeri valjev naj bodo $2 \;{\rm cm}, 4 \;{\rm cm}, 6 \;{\rm cm}, 8 \;{\rm cm}, 10 \;{\rm cm}\;\dots $ Izračunaj prostornine valjev. Zapiši prostornino $n$-tega valja po tem pravilu.

Prostornina valja je $12\pi \;{\rm cm^3}$, ploščina plašča valja je trikrat večja od ploščine osnovne ploskve valja. Na trši papir nariši mrežo valja. Nato mrežo valja izreži in sestavi model valja.