Lastnosti unije in preseka

Uvod v matematiko
Naravna in cela števila
Računanje z izrazi
Deljivost
Racionalna števila
Množice
Realna števila
Enačbe in neenačbe
Koordinatni sistem
Linearna funkcija
Statistika

S sošolcem raziščita, ali velja za unijo in presek zakon o zamenjavi (komutativnost). Zapišita primer.

Zakon o zamenjavi za unijo: $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}=\mathcal{B} \cup \mathcal{A}$

Zakon o zamenjavi za presek: $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}=\mathcal{B} \cap \mathcal{A}$

$\mathcal{A}=\{1,2,3\}$, $\mathcal{B}=\{2,3,4\}$

Zakon o zamenjavi za unijo

$\mathcal{A} \cup \mathcal{B}=\{1,2,3\} \cup \{2,3,4\}=\{1,2,3,4\}$
$\mathcal{B} \cup \mathcal{A}=\{2,3,4\} \cup \{1,2,3\}=\{1,2,3,4\}$
Torej v danem izbranem res velja $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}=\mathcal{B} \cup \mathcal{A}$.

Zakon o zamenjavi za presek

$\mathcal{A} \cap \mathcal{B}=\{1,2,3\} \cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$
$\mathcal{B} \cap \mathcal{A}=\{2,3,4\} \cap \{1,2,3\}=\{2,3\}$
Torej v izbranem primeru res velja $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}=\mathcal{B} \cap \mathcal{A}$.

Zakon o zamenjavi velja za unijo in presek.

S sošolcem raziščita, ali za unijo in presek velja zakon o združevanju (asociativnost). Zapišita primer.

Zakon o združevanju za unijo: $(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \cup \mathcal{C}= \mathcal{A} \cup (\mathcal{B} \cup \mathcal{A})$

Zakon o združevanju za presek: $(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cap \mathcal{C}= \mathcal{A} \cap (\mathcal{B} \cap \mathcal{A})$

$\mathcal{A}=\{1,2\}$, $\mathcal{B}=\{2,3\}$, $\mathcal{C}=\{2,3,4\}$

Zakon o združevanju za unijo

$(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \cup \mathcal{C}$	$=(\{1,2\} \cup \{2,3\}) \cup \{2,3,4\}=$
	$=\{1,2,3\} \cup \{2,3,4\}=\{1,2,3,4\}$
$\mathcal{A} \cup (\mathcal{B} \cup \mathcal{A})$	$=\{1,2\} \cup (\{2,3\} \cup \{2,3,4\})=$
	$=\{1,2\} \cup \{2,3,4\}=\{1,2,3,4\}$

Torej v izbranem primeru velja $(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \cup \mathcal{C}= \mathcal{A} \cup (\mathcal{B} \cup \mathcal{A})$.

Zakon o združevanju za presek

$(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cap \mathcal{C}$	$=(\{1,2\} \cap \{2,3\}) \cap \{2,3,4\}=$
	$=\{2\} \cap \{2,3,4\}=\{2\}$
$\mathcal{A} \cap (\mathcal{B} \cap \mathcal{A})$	$=\{1,2\} \cap (\{2,3\} \cap \{2,3,4\})=$
	$=\{1,2\} \cap \{2,3\}=\{2\}$

Torej v izbranem primeru velja $(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cap \mathcal{C}= \mathcal{A} \cap (\mathcal{B} \cap \mathcal{A})$.

Enakost $(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \cup \mathcal{C}= \mathcal{A} \cup (\mathcal{B} \cup \mathcal{A})$ velja, saj leva in desna stran predstavljata enako območje v Vennovem diagramu.

Enakost $(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cap \mathcal{C}= \mathcal{A} \cap (\mathcal{B} \cap \mathcal{A})$ velja, saj leva in desna stran predstavljata enako območje v Vennovem diagramu.

Razmisli, ali za unijo in presek veljata zakona o razčlenitvi (distributivnost).
$\mathcal{A} \cup (\mathcal{B} \cap \mathcal{C})= (\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \cap (\mathcal{A} \cup \mathcal{C})$

$\mathcal{A} \cap (\mathcal{B} \cup \mathcal{C})= (\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cup (\mathcal{A} \cap \mathcal{C})$

$\mathcal{A}=\{1,2\}$, $\mathcal{B}=\{2,3\}$, $\mathcal{C}=\{2,3,4\}$

$\mathcal{A} \cup (\mathcal{B} \cap \mathcal{C})$	$= \{1,2\} \cup (\{2,3\} \cap \{2,3,4\})=$
	$=\{1,2\} \cup \{2,3\}=\{1,2,3\}$
$(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \cap (\mathcal{A} \cup \mathcal{C})$	$=(\{1,2\} \cup \{2,3\}) \cap (\{1,2\} \cup \{2,3,4\})=$
	$=\{1,2,3\} \cap \{1,2,3,4\}=\{1,2,3\}$

Torej enakost $\mathcal{A} \cup (\mathcal{B} \cap \mathcal{C})= (\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \cap (\mathcal{A} \cup \mathcal{C})$ v izbranem primeru res velja.

$\mathcal{A}=\{1,2\}$, $\mathcal{B}=\{2,3\}$, $\mathcal{C}=\{2,3,4\}$

$\mathcal{A} \cap (\mathcal{B} \cup \mathcal{C})$	$=\{1,2\} \cap (\{2,3\} \cup \{2,3,4\})$
	$=\{1,2\} \cap \{2,3,4\}=\{2\}$
$(\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cup (\mathcal{A} \cap \mathcal{C})$	$=(\{1,2\} \cap \{2,3\}) \cup (\{1,2\} \cap \{2,3,4\})$
	$=\{2\} \cup \{2\}=\{2\}$

Torej enakost $\mathcal{A} \cap (\mathcal{B} \cup \mathcal{C})= (\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cup (\mathcal{A} \cap \mathcal{C})$ v izbranem primeru res velja.

Enakost $\mathcal{A} \cup (\mathcal{B} \cap \mathcal{C})= (\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \cap (\mathcal{A} \cup \mathcal{C})$ velja, saj leva in desna stran predstavljata enako območje v Vennovem diagramu.

Enakost $\mathcal{A} \cap (\mathcal{B} \cup \mathcal{C})= (\mathcal{A} \cap \mathcal{B}) \cup (\mathcal{A} \cap \mathcal{C})$ velja, saj leva in desna stran predstavljata enako območje v Vennovem diagramu.

Razmisli še, kaj je presek in kaj unija s prazno množico in z univerzalno množico. Vpiši črko A (množica $\mathcal{A}$) ali črko U (univerzalna množica) ali črko O (prazna množica).

$\mathcal{A} \cup \mathcal{U}$	$=$	U
$\mathcal{A} \cup \emptyset$	$=$	A
$\mathcal{A} \cap \mathcal{U}$	$=$	A
$\mathcal{A} \cap \emptyset$	$=$	O

Zgled

V razredu vsak izmed dijakov uporablja Facebook ali Skype. Facebook uporablja $15$ dijakov, Skype pa $8$ dijakov.
a) Največ koliko dijakov je lahko v tem razredu?
b) Najmanj koliko dijakov je lahko v tem razredu?
c) Koliko dijakov je v tem razredu, če ima natanko enega izmed programov $11$ dijakov?

Pomagaš si z Vennovim diagramom.

Nalogo c) lahko rešiš tudi računsko.

1. Ker ne veš, koliko jih uporablja oboje, označiš v preseku $x$.
2. Facebook uporablja $15$ dijakov, SAMO Facebook pa zato
$15-x$.
3. Skype uporablja $8$ dijakov, SAMO Skype pa zato $8-x$.
Vsoto izrazov $15-x$ in $8-x$ enači z 11.

a) Največ $23$.

b) Najmanj $15$.

c) V razredu je $17$ dijakov.

Razmisli, kaj lahko poveš o množicah $\mathcal{A}$ in $\mathcal{B}$, za kateri velja:
a) $\mathcal{A} \subseteq (\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$)
b) $\mathcal{A} \cup \mathcal{B} = \mathcal{A}$
c) $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}=\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$
Pomagaš si lahko s sliko.

Množica $\mathcal{A}$ je vsebovana v množici $\mathcal{B}$.

Množica $\mathcal{B}$ je vsebovana v množici $\mathcal{A}$.

Množici $\mathcal{A}$ in $\mathcal{B}$ vsebujeta enake elemente.