Iskanje ničel polinoma

Ker je vodilni koeficient $1$, so možne racionalne ničle delitelji prostega člena.
Možne ničle: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm, 5 \pm 10, \pm 20$

Uganemo ničlo $x=-5$ in izvedemo Hornerjev algoritem.

Zapišemo ničlo in količnik.
$x_1=-5, x^2-4x+4$

Ker je količnik $2$. stopnje, preostali ničli poiščemo z razstavljanjem.
$x^2-4x+4=(x-2)^2$
$x_{2,3}=2$

Zapišemo možne racionalne ničle:
• delitelji prostega člena: $\pm 1, \pm 2$
• delitelji vodilnega koeficienta: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$
• možne ničle: $\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{2}, \pm \frac{2}{4}$
• poenostavljene ničle: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2$

Uganemo ničlo, npr. $x=\frac{1}{2}$, in izvedemo Hornerjev algoritem.

Zapišemo ničlo in količnik.
$x=\frac{1}{2}, 4x^3+6x^2+4x-4$

V količniku lahko izpostavimo $2$ in dobimo $2(2x^3+3x^2+2x-2)$.
Poiščemo ničle polinoma $(2x^3+3x^2+2x-2)$.

Zapišemo možne racionalne ničle količnika:
• delitelji prostega člena: $\pm 1, \pm 2$
• delitelji vodilnega koeficienta: $\pm 1, \pm 2$
• možne ničle: $\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{2}$
• poenostavljene ničle: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Uganemo ničlo, npr. $x=\frac{1}{2}$, in izvedemo Hornerjev algoritem.

Zapišemo ničlo in količnik.
$x_2=\frac{1}{2}, 2x^2+4x+4$

Ker je količnik $2$. stopnje, poiščemo preostali ničli po obrazcu.
$x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-1\pm i$

Zapišemo možne racionalne ničle:
• delitelji prostega člena: $\pm 1, \pm 2$
• delitelji vodilnega koeficienta: $\pm 1, \pm 3, \pm 9$
• možne ničle: $\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}$
• poenostavljene ničle: $\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}$

Uganemo ničlo, npr. $x=\frac{1}{3}$, in izvedemo Hornerjev algoritem.

Zapišemo ničlo in količnik.
$x=\frac{1}{3}, 9x^3-15x^2+12x+6$

V količniku lahko izpostavimo $3$ in dobimo $3(3x^3-5x^2+4x+2)$.
Poiščemo ničle polinoma $(3x^3-5x^2+4x+2)$.

Zapišemo možne racionalne ničle količnika:
• delitelji prostega člena: $\pm 1, \pm 2$
• delitelji vodilnega koeficienta: $\pm 1, \pm 3$
• možne ničle: $\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{3}$
• poenostavljene ničle: $\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}$

Uganemo ničlo, npr. $x=-\frac{1}{3}$, in izvedemo Hornerjev algoritem.

Zapišemo ničlo in količnik.
$x_2=-\frac{1}{3}, 3x^2-6x+6$

Ker je količnik $2$. stopnje, poiščemo preostali ničli po obrazcu.
$x_{3,4}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=1\pm i$

Ničle navedenih polinomov poišči tudi s simbolnim oziroma grafičnim računalom ali s katerim od programov za računanje ničel algebrskih funkcij.

a) Ker je prosti člen enak $0$, izpostavi $x^3$.
Dobiš ničlo $3$. stopnje $x_{1,2,3}=0$.
Preostale ničle poiščeš po zgoraj opisanem postopku.

b) Zapisan polinom nima celih koeficientov.
Izpostavi ustrezno število tako, da bo polinom zapisan kot produkt tega števila in polinoma, ki ima cele koeficiente.

$p(x)=x^6-x^5-5x^4-3x^3$
$p(x)=x^3(x^3-x^2-5x-3)$

$x_{1,2,3}=0$, $x^3-x^2-5x-3$

Možne ničle: $\pm 1, \pm 3$

$x_4=-1$, $x^2-2x-3$

Preostali ničli poiščemo z razstavljanjem.

$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$
$x_5=3, x_6=-1$

$p(x)=3x^3-x^2-\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}$
$p(x)=\frac{1}{3}(9x^3-3x^2-8x+4)$

Možne ničle: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$

$x_1=-1$, $9x^2-12x+4=0$

Ker je količnik $2$. stopnje, poiščemo preostali ničli po obrazcu.
$x_{2,3}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{2,3}=\frac{2}{3}$

Ničle navedenih polinomov poišči tudi s simbolnim oziroma grafičnim računalom ali s katerim od programov za računanje ničel algebrskih funkcij.