Naloge

Funkcija $\mathrm{arccot}\, x$ je inverzna funkcija k funkciji $\cot x$. Njen graf dobimo z zrcaljenjem grafa funkcije $\cot x$ na intervalu $(0, \pi)$, na katerem je bijektivna, čez simetralo lihih kvadrantov.

Lastnosti funkcije $f(x)=\mathrm{arccot}\, x$:
1. $D_f=\mathbb{R}$, $Z_f=(0, \pi)$.
2. Začetna vrednost funkcije je $\frac{\pi}{2}$, ničel nima.
3. Funkcija je naraščajoča.
4. Funkcija ima dve vodoravni asimptoti: $y=0$ in $y=\pi$.
5. Funkcija je omejena med $0$ in $\pi$.

Utemeljimo zvezo najprej grafično. V koordinatni sistem narišemo graf funkcije $f(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x$ in ga primerjamo z grafom funkcije $\mathrm{arccot}$.

Opomba: Računalniški programi za risanje grafov funkcij ponavadi nimajo vgrajene funkcije $\mathrm{arccot}\, x$. Če želimo narisati graf te funkcije, narišemo graf funkcije $\frac{\pi}{2}-\arctan x$. Poskusi.

Utemeljimo enakovredno zvezo $\arctan x+\mathrm{arccot}\, x=\frac{\pi}{2}$ še analitično. Pri tem bomo potrebovali še adicijski izrek za tangens vsote kotov $\displaystyle \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$.
Uporabili bomo tudi zvezo $\mathrm{arccot}\, x=\arctan \frac{1}{x}$.

Izračunajmo:
$\tan (\arctan x+\mathrm{arccot}\, x)=\tan (\arctan x+\arctan \frac{1}{x})=$
$\displaystyle =\frac{\tan (\arctan x)+\tan (\arctan \frac{1}{x})}{1-\tan (\arctan x) \tan (\arctan \frac{1}{x})}=$
$\displaystyle =\frac{x+\frac{1}{x}}{1-x\cdot \frac{1}{x}}=\frac{x+\frac{1}{x}}{1-1}=\frac{x+\frac{1}{x}}{0}$
Sklepamo, da mora biti $\tan (\arctan x+\mathrm{arccot}\, x)$ neskončno oziroma  $\arctan x+\mathrm{arccot}\, x=\frac{\pi}{2}$.

Funkcija je definirana za vrednosti $x$, za katere velja $-1\leq x+2\leq 1$. Iz tega izhaja $D_f=[-3, -1]$.

Ker $\arcsin 2$ ne obstaja, funkcija ne seka ordinatne osi.

Funkcijo izenačimo z $0$ in enačbo uredimo. Dobimo $\arcsin (x+2)=-\frac{\pi}{2}$. Funkcija arkus sinus zavzame vrednost $-\frac{\pi}{2}$ pri $-1$. Iz $x+2=-1$ izračunamo $x=-3$.

Funkcija arkus sinus je naraščajoča. Koeficient raztega v smeri ordinatne osi je 2, zato je tudi funkcija $f$ naraščajoča.

Funkcija je definirana za vrednosti $x$, za katere velja $-1\leq x-1\leq 1$. Iz tega izhaja $D_f=[0, 2]$.

Funkcija arkus kosinus ima zalogo vrednosti $[0, \pi]$. Če arkus kosinus raztegnemo v smeri ordinatne osi s faktorjem $-2$ in premaknemo za $\frac{3\pi}{2}$ navzgor, je zaloga vrednosti funkcije $f$ interval $[-\frac{ \pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Začetna vrednost:
$f(0)=-2\arccos (-1)+\frac{3\pi}{2}=-2\pi+\frac{3\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$

Funkcija arkus kosinus je padajoča. Ker je koeficient raztega v smeri ordinatne osi negativen, je funkcija $f$ naraščajoča.

Funkcija arkus tangens je definirana na $\mathbb {R}$. Vzporedni premik v smeri abscisne osi tega definicijskega območja ne spremeni.

Funkcija arkus tangens ima zalogo vrednosti interval $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Če vrednostim odštejemo $\frac{\pi}{2}$, je zaloga vrednosti funkcije $f$ interval $(-\pi, 0)$.

Začetna vrednost:
$f(0)=\arctan \frac{\sqrt 3}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}=-\frac{2\pi}{3}$

Asimptoti sta $y=0$ in $y=-\pi$.