Iskanje predpisa polinoma

1. Iskani polinom $5$. stopnje zapiši v ničelni obliki.
2. Odčitaj ničle in določi njihove stopnje.
3. Odčitaj točko grafa.

Ničle in koordinati točke vstavi v ničelno obliko iskanega polinoma in tako izračunaj vrednost vodilnega koeficienta.

1. Iskani polinom $5$. stopnje zapišemo v ničelni obliki.
$p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)$

2. Odčitamo ničle in določimo njihove stopnje.
· Če graf v ničli SEKA os $x$, je ničla $1$. ali $3$. ali $5$. stopnje.
· Če se graf v ničli DOTIKA osi $x$, je ničla $2$. ali $4$. stopnje.
Ničle ne morejo biti višje stopnje, saj ima polinom $5$ ničel.

3. Odčitamo točko.
Odčitamo presečišče z osjo $y$ ali kako drugo točko, katere koordinate se dajo določiti s slike.

$p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)$

Odčitamo ničle.
$x_{1,2}=-1$ je ničla $2$. stopnje, ker se graf v $(-1,0)$ dotika osi $x$.
$x_{3,4}=1$ je ničla $2$. stopnje, ker se graf v $(1,0)$ dotika osi $x$.
$x_5=2$ je ničla $1$. stopnje, ker graf v $(2,0)$ seka os $x$. 

Odčitamo točko grafa.
$(0,2)$

Vstavimo ničle.
$p(x)=a(x-(-1))(x-(-1))(x-1)(x-1)(x-2)$ 
$p(x)=a(x+1)(x+1)(x-1)(x-1)(x-2)$ 

Vstavimo koordinati točke $(0,2)$ in izračunamo $a$.
$2=a(0+1)(0+1)(0-1)(0-1)(0-2)$  
$2=-2a$
$a=-1$

Zapišemo polinom.
$p(x)=-1(x+1)(x+1)(x-1)(x-1)(x-2)$
$p(x)=-(x+1)^2(x-1)^2(x-2)$

$p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)$

Odčitamo ničle.
$x_{1,2,3}=-1$ je ničla tretje stopnje, ker graf v $(-1,0)$ seka os $x$ in se graf nekoliko prilega osi $x$.
$x_{3,4}=1$ je ničla druge stopnje, ker se graf v $(1,0)$ dotika osi $x$. 

Odčitamo točko grafa.
$(0,-2)$

Vstavimo ničle.
$p(x)=a(x-(-1))(x-(-1))(x-(-1))(x-1)(x-1)$ 
$p(x)=a(x+1)(x+1)(x+1)(x-1)(x-1)$ 

Vstavimo koordinati točke $(0,-2)$ in izračunamo $a$.
$-2=a(0+1)(0+1)(0+1)(0-1)(0-1)$ 
$-2=a$

Zapišemo polinom.
$p(x)=-2(x+1)(x+1)(x+1)(x-1)(x-1)$
$p(x)=-2(x+1)^3(x-1)^2$