Naloge

12.

Dopolni rešitve. Računaj brez računala.

a) $\sin (2\arcsin \frac{1}{2})+\cos(\pi-\arccos \frac{1}{2})=$

$\sqrt{3}-$ 1

2

b) $\tan (\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2}))+2\tan(\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2})=$

6 $ -\sqrt 3$

3

13.

Izračunaj natančne vrednosti izrazov. Rezultate izrazi v radianih.

a) $3\arcsin(\cos \frac{\pi}{3})+\arccos(\sin \frac{\pi}{3})=$

2 $\pi$

3

b) $\arctan(\tan \frac{5\pi}{3})-2\arctan(\tan \frac{\pi}{6})=$

-2 $\pi$

3

14.

Dokaži naslednje trditve.
a) $\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$ za $x\in [-1, 1]$
b) $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ za $x\in [-1, 1]$
c) $\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ za $x\in \mathbb{R}$
č) $\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ za $x\in \mathbb{R}$
d) $\tan(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ za $x\in (-1, 1)$

15.

Izračunaj natančne vrednosti izrazov brez računala.

a) $\sin (\arccos \frac{2}{3})$
b) $\cos (\arcsin \frac{1}{4})$

c) $\tan (\arccos (-\frac{1}{3}))$ č) $\cos (\arctan \frac{2}{5})$

d) $\sin (\arctan (-\frac{1}{3}))$ e) $\tan (\arcsin \frac{3}{5})$

16.

Dokaži naslednje trditve.

a) $\sin (\arcsin x+\arcsin y)=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$ za $|x|\leq 1$ in $|y|\leq 1$

b) $\cos (\arccos x-\arccos y)=xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$ za $|x|\leq 1$ in $|y|\leq 1$

c) $\tan (\arctan x+ \arctan y)=\frac{x+y}{1-xy}$ za $x, y\in \mathbb{R}$

17.

Izračunaj natančne vrednosti izrazov brez računala.

a) $\sin (\arcsin \frac{4}{5}+\arcsin \frac{3}{5})$

b) $\cos (\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{2}{3}) $

c) $\cos (\arccos \frac{2}{5}-\arcsin \frac{1}{5}) $

>NAPREJ123/610