Združevanje (3 členi + 1 člen)

Poskušaj razstaviti štiričlenik $x^2-y^2+4x+4$.

Ponovno poskušaj razstaviti isti štiričlenik tako, da ga preoblikuješ v razliko kvadratov, ki jo nato razstaviš. Če ti ne gre, si oglej film.

Izberi pravilne trditve.

Nekatere štiričlenike lahko razstavimo tako, da jih preoblikujemo v vsoto kvadratov.

Če štiričlenik preoblikujemo v razliko kvadratov, $3$ člene preoblikujemo v kvadrat, četrti člen pa mora biti tudi kvadrat.

Vsak tričlenik lahko preoblikujemo v razliko kvadratov.

Zgled

Razstavi štiričlenik.

a) $x^2+6x+9-y^2=$
b) $x^2-25+2xy+y^2$
c) $4x^2-y^2+10y-25$

Zgled

Na mizi je kvadrat, sestavljen iz zelenih frnikol. Kvadrat obdamo z eno plastjo modrih frnikol. Nato v vseh štirih ogliščih kvadrata iz zelenih frnikol odstranimo enako velike kvadrate zelenih frnikol, kot prikazuje slika. Dokaži, da lahko iz frnikol obeh barv, ki na koncu ostanejo na mizi, oblikujemo pravokotnik, če:

a) smo začeli z $49$ zelenimi frnikolami, kasneje pa smo v vsakem oglišču odstranili kvadrat s $4$ frnikolami,
b) smo začeli s $625$ zelenimi frnikolami, kasneje pa smo v vsakem oglišču odstranili kvadrat z $9$ frnikolami,
c) smo začeli s poljubnim kvadratom zelenih frnikol, kasneje pa smo v vsakem oglišču odstranili poljubno velik kvadrat frnikol.

$x^2-25+2xy+y^2$	$=x^2+2xy+y^2-25=$
	$=(x+y)^2-5^2=$
	$=(x+y-5)(x+y+5)$

$4x^2-y^2+10y-25$	$=4x^2-(y^2-10y+25)=$
	$=(2x)^2-(y-5)^2=$
	$=(2x-y+5)(2x+y-5)$

$x^2+6x+9-y^2$	$=(x+3)^2-y^2=$
	$=(x+3-y)(x+3+y)$