Vpeljava potenc z racionalnim eksponentom

Oglejmo si nekatere možnosti.

$4=4$¹$=4^{\frac{2}{2}}=4^{\frac{1}{2}\cdot}$²

Uporabimo pravilo za potenciranje potenc $(a^n)^m=$ a ^nm

$4= (4^2)^{\frac{1}{2}}=16^{\frac{1}{2}}$

Število $4$ pa lahko zapišemo tudi kot kvadratni koren:

$4=\sqrt{}$ 16

Če povzamemo zgornji zapis, opazimo naslednjo enakost:

$16^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{16}=4$.

Kaj opaziš?

Raziščimo, če velja ta ugotovitev za poljubni korenjenec $a$ ($a\ge0$):
$a=a$¹$=a^{\frac{n}{n}}=a^{\frac{1}{n}\cdot}$ⁿ$=(a^\frac{1}{n})$ⁿ

Po drugi strani pa velja:
$a=(\sqrt[n]{a})$ⁿ

Če zopet povzamemo zgornji zapis, dobimo enakost:

$(\sqrt[n]{a})^{n}=(a^{\frac{1}{n}})^{n}=$ oziroma

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$, kjer je $a\ge0$ in $n\in\mathbb{N}$.

Izračunajmo:

$a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

Potenco nenegativnega realnega števila $a$ z racionalnim eksponentom $\frac{m}{n}$ ($m\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{N}$) definiramo:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Tako smo dobili zvezo med potencami z racionalnimi eksponenti in koreni.