Licenca
To delo je na voljo pod pogoji slovenske licence Creative Commons 2.5:

priznanje avtorstva - nekomercialno - deljenje pod enakimi pogoji.

Celotna licenca je na voljo na spletu na naslovu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/si/. V skladu s to licenco je dovoljeno vsakemu uporabniku delo razmnoževati, distribuirati, javno priobčevati, dajati v najem in tudi predelovati, vendar samo v nekomercialne namene in ob pogoju, da navede avtorja oziroma avtorje in izdajatelja tega dela. Če uporabnik delo predela, kar pomeni, da ga spremeni, preoblikuje, prevede ali uporabi to delo v svojem delu, lahko predelavo dela ponudi na voljo le pod pogoji, ki so enaki pogojem iz te licence oziroma pod enako licenco.

Vpeljava potenc z racionalnim eksponentom

Števila lahko zapišemo na različne načine, npr. $\frac{1}{2}=0,5$ ali $10^{-1}=\frac{1}{10}$. Raziščimo zapis potence z racionalnim eksponentom (npr. $a^{\frac{1}{2}}$ ali pa $8^{\frac{2}{3}}$).

Reši naslednjo nalogo.

Zapiši čim več številskih izrazov s potencami in koreni, katerih vrednost bo $4$. S sošolcem si jih izmenjajta in rešita.

Oglejmo si nekatere možnosti.

$4=4$ 1 $=4^{\frac{2}{2}}=4^{\frac{1}{2}\cdot}$ 2

Uporabimo pravilo za potenciranje potenc $(a^n)^m=$ a nm  

$4= (4^2)^{\frac{1}{2}}=16^{\frac{1}{2}}$

Število $4$ pa lahko zapišemo tudi kot kvadratni koren:

$4=\sqrt{}$ 16

Če povzamemo zgornji zapis, opazimo naslednjo enakost:

$16^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{16}=4$.

Kaj opaziš?

Raziščimo, če velja ta ugotovitev za poljubni korenjenec $a$ ($a\ge0$):
$a=a$ 1 $=a^{\frac{n}{n}}=a^{\frac{1}{n}\cdot}$ n $=(a^\frac{1}{n})$ n

Po drugi strani pa velja:
$a=(\sqrt[n]{a})$ n

Če zopet povzamemo zgornji zapis, dobimo enakost:

$(\sqrt[n]{a})^{n}=(a^{\frac{1}{n}})^{n}=$ oziroma

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$, kjer je $a\ge0$ in $n\in\mathbb{N}$.

Izračunajmo:

$a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

Potenco nenegativnega realnega števila $a$ z racionalnim eksponentom $\frac{m}{n}$ ($m\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{N}$) definiramo:

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Tako smo dobili zvezo med potencami z racionalnimi eksponenti in koreni.

<NAZAJ
>NAPREJ372/703