Uporabi sinusni izrek in faktorizacijo kotnih funkcij.

$\frac{a}{{\rm sin}\alpha}=\frac{b}{{\rm sin}\beta}=2R$

Iz tega sledi $a=2R{\rm sin}\alpha$ in $b=2R{\rm sin}\beta$.

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2R{\rm sin}\alpha-2R{\rm sin}\beta}{2R{\rm sin}\alpha+2R{\rm sin}\beta}=\frac{{\rm sin}\alpha-{\rm sin}\beta}{{\rm sin}\alpha+{\rm sin}\beta}=$
$=\frac{2{\rm sin}\frac{\alpha-\beta}{2}{\rm cos}\frac{\alpha+\beta}{2}}{2{\rm cos}\frac{\alpha-\beta}{2}{\rm sin}\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{{\rm tan}\frac{\alpha-\beta}{2}}{{\rm tan}\frac{\alpha+\beta}{2}}$

Najprej uporabimo kotne funkcije polovičnih kotov in kosinusni izrek.

${\rm cos}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1+{\rm cos}\alpha)=\frac{1}{2}\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}=$

Izraz preoblikujemo.

$\frac{1}{4bc}((b+c)^2-a^2)=\frac{1}{bc}\frac{b+c+a}{2}\frac{b+c-a}{2}$

Upoštevamo $\frac{a+b+c}{2}=s$ in dobimo 

${\rm cos}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{s(s-a)}{bc}$.

Podobno dobimo ${\rm sin}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1-{\rm cos}\alpha)=\frac{(s-b)(s-c)}{bc}$

${\rm tan}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$ in končno

$ {\rm tan}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$