Modeliranje z eksponentno funkcijo

Ugotovili smo, da je v primeru približno enakih razlik funkcijskih vrednosti $\triangle f(x)=f(x+m)-f(x)$ smiselno uporabiti linearno prilagoditveno funkcijo. Kdaj pa je smiselno uporabiti eksponentno prilagoditveno funkcijo?

Vzemi list papirja in ga prepogni na pol, dobljeno spet prepogni na pol ... V vsakem koraku preštej število plasti in jih vpiši v preglednico, nato pa izračunaj količnike funkcijskih vrednosti.

a) Kaj si ugotovil? Utemelji, da je v tem primeru ustrezna eksponentna prilagoditvena funkcija s predpisom $f(x)=a\cdot b^x$.
b) Podatke iz preglednice nariši v zvezek v koordinatni sistem in nariši graf, ki se podatkom najbolje prilega. Izračunaj prilagoditveno funkcijo.

Količniki $\frac{f(x+1)}{f(x)}$ so konstantni.

Izračunajmo $\frac{f(x+1)}{f(x)}$ za funkcijo $f(x)=a\cdot b^x$.

$\displaystyle \frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{a\cdot b^{x+1}}{a\cdot b^x}=b$

Količniki $\frac{f(x+1)}{f(x)}$ so za eksponentno funkcijo konstantni.

Eksponentno prilagoditveno funkcijo določimo tako, da izberemo dve točki in rešimo sistem. Vzemimo točki $(1,2)$ in $(3,8)$. Sistem $2=a\cdot b^1$ in $8=a\cdot b^3$ ima rešitev $a=1$ in $b=2$. Prilagoditvena funkcija je torej $f(x)=2^x$.