Višinski izrek

Trikotnik $ABC$ je zagotovo pravokoten, saj je kot nad premerom polkrožnice vedno pravi (Talesov izrek o kotu v polkrožnici).

$a_1=$ pravokotna projekcija katete $a$ na hipotenuzo trikotnika,

$b_1=$ pravokotna projekcija katete $b$ na hipotenuzo trikotnika,

$v=$ višina na hipotenuzo. Ker je to edina višina (različna od stranic), jo označimo kar na tak način.

Kakšna je zveza med temi tremi količinami? Znova poglej na levi prikaz in jo zapiši s simboli. Če ti je uspelo, si zapisal pomemben izrek.

Najprej premislimo, kakšni so koti v trikotnikih $ABC$, $ACM$ in $CBM$. Kota ob hipotenuzi $AB$ sta komplementarna ($\alpha +\beta=90°$), saj je vsota vseh notranjih kotov trikotnika enaka $180°$. V trikotniku $AMC$ poznamo dva kota, tretji je enak $180°-90°-\alpha$, to pa je enako $\beta$. Podobno sklepamo, da ima tudi trikotnik $MBC$ kote z velikostjo $\alpha$, $\beta$ in $90°$.

Torej se vsi trije trikotniki ujemajo v velikosti notranjih kotov in so zato podobni.

$\triangle ABC\simeq \triangle ACM\simeq \triangle CBM$

Trikotnika $ACM$ in $CBM$ sta podobna, zato se ujemata v razmerju enakoležečih stranic. Naj bo $|AM|\lt |MB|$. Tedaj velja:

$\displaystyle \frac{\text{daljša kateta}}{\text{krajša kateta}}=\frac{v}{b_1}=\frac{a_1}{v}$

Iz zadnjega dela izhaja enakost iz višinskega izreka, ki je s tem dokazan.

Naj bosta $a$ in $b$ poljubni pozitivni števili. Tedaj število $\sqrt{a\cdot b}$ imenujemo geometrijska sredina izbranih števil.

Kaj nam torej sporoča višinski izrek? Višina na hipotenuzo je enaka geometrijski sredini pravokotnih projekcij katet na hipotenuzo.