Za vsak naslednji račun uporabi rezultate prejšnjega.

$(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-i=2i$
$(1+i)^4=((1+i)^2)^2=(2i)^2=4i^2=-4$
$(1+i)^{24}=((1+i)^4)^6=(-4)^6=4096$

Naj bo $z=a+bi$ in $w=c+di$. Potem velja:

$z+w=(a+c)+(b+d)i$
$w+z=(c+a)+(d+b)i$

Ker pa je seštevanje v množici realnih števil komutativno, sta realni komponenti obeh vsot enaki. Enaki sta tudi imaginarni komponenti.

$zw=(ac-bd)+(bc+ad)i$
$wz=(ca-db)+(cb+da)i$

Isti razmislek kot pri vsoti nam tudi tu pokaže enakost obeh produktov.

Naj bo $z=a+bi$, $w=c+di$, $u=e+fi$

$(z+w)+u=((a+c)+(b+d)i)+(e+fi)=$
$=((a+c)+e)+((b+d)+f)i$

$z+(w+u)=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=$
$=(a+(c+e))+(b+(d+f))i$

$(zw)u=((ac-bd)+(bc+ad)i)(e+fi)=$
$=(ace-bde-bcf-adf)+(bce+cde+acf-bdf)i$

$z(wu)=(a+bi)((ce-df)+(cf+de)i)=$
$=(ace-adf-bcf-bde)+(bce-bdf+acf+ade)i$

Razen vrstnega reda členov se rezultati ujemajo.

Naj bo $z=a+bi$, $w=c+di$, $u=e+fi$

$z(w+u)=(a+bi)((c+e)+(d+f)i)=$
$=a(c+e)-b(d+f)+(a(d+f)+b(c+e))i=$
$=(ac+ae-bd-bf)+(ad+af+bc+be)i$

$zw+zu=(a+bi)(c+di)+(a+bi)(e+fi)=$
$=(ac-bd)+(bc+ad)i+(ae-bf)+(be+af)i=$
$=(ac-bd+ae-bf)+(bc+ad+be+af)i$