Licenca
To delo je na voljo pod pogoji slovenske licence Creative Commons 2.5:

priznanje avtorstva - nekomercialno - deljenje pod enakimi pogoji.

Celotna licenca je na voljo na spletu na naslovu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/si/. V skladu s to licenco je dovoljeno vsakemu uporabniku delo razmnoževati, distribuirati, javno priobčevati, dajati v najem in tudi predelovati, vendar samo v nekomercialne namene in ob pogoju, da navede avtorja oziroma avtorje in izdajatelja tega dela. Če uporabnik delo predela, kar pomeni, da ga spremeni, preoblikuje, prevede ali uporabi to delo v svojem delu, lahko predelavo dela ponudi na voljo le pod pogoji, ki so enaki pogojem iz te licence oziroma pod enako licenco.

Razmerja

Vektorji se izkažejo za izjemno uporabne pri določanju raznih razmerij. Pri tem uporabimo lastnosti baznih vektorjev.

Zgled

V paralelogramu $ABCD$ deli točka $M$ stranico $BC$ v razmerju $|BM|:|MC|=1:2$. Točka $S$ je presečišče daljice $AM$ in diagonale $BD$. Določi razmerje $|AS|:|SM|$.

Tovrstne naloge rešujemo podobno.

1. Narišemo skico in izberemo dva nekolinearna vektorja za bazo. Naj bo $\overset{\rightharpoonup}{a}=\overset{\Large\rightharpoonup}{AB}$ in $\overset{\rightharpoonup}{b}=\overset{\Large\rightharpoonup}{AD}$.

2. Vektor $\overset{\Large\rightharpoonup}{AS}$ izrazimo na dva načina.

a) Vektorja $\overset{\Large\rightharpoonup}{AS}$ in $\overset{\Large\rightharpoonup}{AM}$ sta kolinearna, zato je $\overset{\Large\rightharpoonup}{AS}=m\overset{\Large\rightharpoonup}{AM}$ za nek skalar $m$. Število $m$ nam bo na koncu povedalo, kako je iskano razmerje. Dobimo:  $$\overset{\Large\rightharpoonup}{AS}=m\overset{\Large\rightharpoonup}{AM}=m(\overset{\rightharpoonup}{a}+\frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup}{b})=m\overset{\rightharpoonup}{a}+\frac{m}{3}\overset{\rightharpoonup}{b}$$

b) Izrazimo vektor $\overset{\Large\rightharpoonup}{AS}$ še na drug način: $$\overset{\Large\rightharpoonup}{AS}=\overset{\Large\rightharpoonup}{AB}+\overset{\Large\rightharpoonup}{BS}=\overset{\rightharpoonup}{a}+n\overset{\Large\rightharpoonup}{BD}=$$ $$=\overset{\rightharpoonup}{a}+n(-\overset{\rightharpoonup}{a}+\overset{\rightharpoonup}{b})=(1-n)\overset{\rightharpoonup}{a}+n\overset{\rightharpoonup}{b}$$

3. Dobljena izraza izenačimo: $$ m\overset{\rightharpoonup}{a}+\frac{m}{3}\overset{\rightharpoonup}{b}=(1-n)\overset{\rightharpoonup}{a}+n\overset{\rightharpoonup}{b}$$ Enakost uredimo tako, da dobimo linearno kombinacijo baznih vektorjev, ki je enaka ničelnemu vektorju:$$(m+n-1)\overset{\rightharpoonup}{a}+(\frac{m}{3}-n)\overset{\rightharpoonup}{b}=\overset{\rightharpoonup}{0}$$

4. Linearna kombinacija baznih vektorjev je enaka nič le v primeru, ko so vsi koeficienti ob njih enakli nič. Dobimo sistem enačb: $$m+n-1=0,\qquad \frac{m}{3}-n=0.$$ Rešitev sistema je $m=\frac{3}{4},n=\frac{1}{4}$. Iz $$\overset{\Large\rightharpoonup}{AS}=m\overset{\Large\rightharpoonup}{AM}=\frac{3}{4}\overset{\Large\rightharpoonup}{AM}$$ izhaja, da je iskano razmerje $|AS|:|SM|=3:1$.

<NAZAJ
>NAPREJ257/703