Licenca
To delo je na voljo pod pogoji slovenske licence Creative Commons 2.5:

priznanje avtorstva - nekomercialno - deljenje pod enakimi pogoji.

Celotna licenca je na voljo na spletu na naslovu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/si/. V skladu s to licenco je dovoljeno vsakemu uporabniku delo razmnoževati, distribuirati, javno priobčevati, dajati v najem in tudi predelovati, vendar samo v nekomercialne namene in ob pogoju, da navede avtorja oziroma avtorje in izdajatelja tega dela. Če uporabnik delo predela, kar pomeni, da ga spremeni, preoblikuje, prevede ali uporabi to delo v svojem delu, lahko predelavo dela ponudi na voljo le pod pogoji, ki so enaki pogojem iz te licence oziroma pod enako licenco.

Povzetek

Skalarni produkt dveh vektorjev je produkt njunih dolžin in kosinusa vmesnega kota:$$\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b}=|\overset{\rightharpoonup}{a}||\overset{\rightharpoonup}{b}|\cos\varphi$$

Ker je $\varphi$ kot med vektorjema $\overset{\rightharpoonup}{a}$ in $\overset{\rightharpoonup}{b}$, potem je skalarni produkt $\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot \overset{\rightharpoonup}{b}$ za ostre kote $\varphi$ pozitivno realno število, za tope kote $\varphi$ pa negativno realno število.

Geometrijski pomen

Skalarni produkt dveh vektorjev je enak produktu dolžine prvega vektorja in projekcije drugega vektorja na prvi vektor: $$\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b}=|\overset{\rightharpoonup}{a}|{\rm pr}_{\overset{\rightharpoonup}{a}}\overset{\rightharpoonup}{b}$$

Absolutna vrednost skalarnega produkta je enaka ploščini pravokotnika, katerega ena stranica je prvi vektor, druga pa projekcija drugega vektorja na prvi vektor.

Lastnosti skalarnega produkta

Za poljubne vektorje $\overset{\rightharpoonup}{a},\overset{\rightharpoonup}{b},\overset{\rightharpoonup}{c}$ in poljubno število $m$ velja:
$\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot \overset{\rightharpoonup}{b}=\overset{\rightharpoonup}{b}\cdot \overset{\rightharpoonup}{a}$
   komutativnost
$\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot (m\overset{\rightharpoonup}{b})=(m\overset{\rightharpoonup}{a})\cdot\overset{\rightharpoonup}{b}=m(\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b})$    homogenost
$\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot (\overset{\rightharpoonup}{b}+\overset{\rightharpoonup}{c})=\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b}+\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{c}$    distributivnost

Vektorja sta pravokotna (ortogonalna) natanko takrat, ko je njun skalarni produkt enak $0$: $$\overset{\rightharpoonup}{a}\perp\overset{\rightharpoonup}{b}\iff \overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b}=0$$

Dolžina vektorja $\overset{\rightharpoonup}{a}$: $$|\overset{\rightharpoonup}{a}|=\sqrt{\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{a}}$$

Za kot $\varphi$ med vektorjema $\overset{\rightharpoonup}{a}$ in $\overset{\rightharpoonup}{b}$ velja:$$\cos\varphi=\frac{\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b}}{|\overset{\rightharpoonup}{a}||\overset{\rightharpoonup}{b}|}$$

<NAZAJ
>NAPREJ295/703