Racionalizacija imenovalca

Uvod v matematiko
Naravna in cela števila
Računanje z izrazi
Deljivost
Racionalna števila
Množice
Realna števila
Enačbe in neenačbe
Koordinatni sistem
Linearna funkcija
Statistika

Zgled

V zvezek reši dane naloge. Rešitev zapiši v okvirček.

a) $\left(\sqrt 8+\sqrt 2\right)\cdot \sqrt 2=$ 6

b) $\left(\sqrt {18}+\sqrt 2\right)^2=$ 32

c) $\left(\sqrt {18}-\sqrt 2\right)^2=$ 8

č) $\left(\sqrt {18}+\sqrt 2\right)\cdot \left(\sqrt{18}-\sqrt 2\right)=$ 16

$\begin{array}{rcl}\left( \sqrt 8+\sqrt 2\right)\cdot \sqrt 2&=& \sqrt{8} \cdot \sqrt2 +\sqrt2 \cdot \sqrt2\\ &=&\sqrt{16}+2\\&=& 4+2\\ &=&6\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\left(\sqrt {18}+\sqrt 2\right)^2&=& \left( \sqrt {18}\right)^2+2\cdot \sqrt{18}\cdot \sqrt{2}+\left( \sqrt2\right)^2\\ &=& 18+2\cdot \sqrt{36}+2\\ &=& 20+2\cdot 6\\ &=& 32\end{array}$

Upoštevamo pravilo kvadrata dvočlenika in pravila za računanje s kvadratnimi koreni.

$\begin{array}{rcl}\left(\sqrt {18}-\sqrt 2\right)^2 &=&\left( \sqrt {18}\right)^2-2\cdot \sqrt{18}\cdot \sqrt{2}+\left( \sqrt2\right)^2\\ &=& 18-2\cdot \sqrt{36}+2\\ &=& 20-2\cdot 6\\ &=& 8\end{array}$

Upoštevamo pravilo kvadrata dvočlenika in pravila za računanje s kvadratnimi koreni.

$\begin{array}{rcl}\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)\cdot \left(\sqrt{18}-\sqrt{2}\right) &=& \left( \sqrt{18}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2\\ &=& 18-2\\ &=& 16\end{array}$

Upoštevamo pravilo razlike kvadratov.

Racionalizacija imenovalca

Postopek, kjer v imenovalcu ulomka odpravimo koren, imenujemo racionalizacija imenovalca.
Za zgled si oglejmo naslednje primere:

a) $\large \frac{2}{\sqrt 3}=\frac{2\cdot \sqrt 3}{\sqrt 3\cdot \sqrt 3}=\frac{2\cdot \sqrt 3}{3}=\frac{2\sqrt 3}{3}$

b) $\large \frac{1}{2+\sqrt 3}=\frac{1\cdot(2- \sqrt 3)}{(2+\sqrt 3)\cdot (2- \sqrt 3)}=\frac{2-\sqrt 3}{4-3}={\small 2-\sqrt 3}$

c) $\large \frac{1}{\sqrt 3-\sqrt 2}=\frac{1\cdot(\sqrt 3+ \sqrt 2)}{(\sqrt 3-\sqrt 2)\cdot (\sqrt 3+ \sqrt 2)}=\frac{\sqrt 3+ \sqrt 2}{3-2}={\small \sqrt 3 +\sqrt 2}$

$\large \frac{a}{\sqrt b}\ =\ \frac{a\cdot \sqrt b}{\sqrt b\cdot \sqrt b}\ =\ \frac{a\cdot \sqrt b}{b}\ =\ \frac{a\sqrt b}{b},\ \ {\small (b > 0)}$

Racionalizirali smo tako, da smo pomnožili števec in imenovalec ulomka s takim številom, da smo v imenovalcu odpravili koren.

$\large \frac{1}{a+\sqrt b}\ =\ \frac{1\cdot(a- \sqrt b)}{(a+\sqrt b)\cdot (a- \sqrt b)}\ =\ \frac{a-\sqrt b}{a^2-b},\ \ {\small (b\ge 0, b\ne a^2)}$

Racionalizirali smo tako, da smo pomnožili števec in imenovalec ulomka s takim številom, da smo v imenovalcu odpravili koren.

Katero pravilo smo uporabili pri tem?

$\large \frac{1}{\sqrt a-\sqrt b}\ =\ \frac{1\cdot(\sqrt a+ \sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)\cdot (\sqrt a+ \sqrt b)}\ =\ \frac{\sqrt a+ \sqrt b}{a-b},$

${\small (a\ge 0,\ b\ge 0, \ a\ne b)}$

Racionalizirali smo tako, da smo pomnožili števec in imenovalec ulomka s takim številom, da smo v imenovalcu odpravili koren.

Katero pravilo smo uporabili pri tem?

Zgled

Izračunaj vrednost izraza $\left( 1-\sqrt3 \right)\sqrt{4+2\sqrt3}+\frac{2-\sqrt 2}{\sqrt2}$.

$=-\left( \sqrt3-1 \right)\sqrt{4+2\sqrt3}+\frac{\left( 2-\sqrt 2\right)\cdot \sqrt2}{\sqrt2\cdot \sqrt2}=$
$=-\sqrt {\left( \sqrt3-1 \right)^2 \cdot \left( 4+2\sqrt3 \right)}+\frac{2\sqrt2-\sqrt 2\cdot \sqrt 2}{2}=$
$=-\sqrt{\left(4-2\sqrt3\right)\left( 4+2\sqrt3\right)}+\sqrt2-1=$
$=-\sqrt4+\sqrt2-1=-3+\sqrt2$

Opomba: ker je $1-\sqrt3\le 0$, moramo izpostaviti $-1$, da dobimo pozitivno število, ki ga potem nesemo pod koren.

Če faktor pred korenom nesemo pod kvadratni koren, ga moramo kvadrirati: $$a\sqrt b=\sqrt{a^2 b},\quad (a\ge0, b\ge 0)$$

Zgled

V zvezek reši dane naloge. Rešitev zapiši v okvirček.

Zgled

Vrednost izraza $\left( 1+\sqrt 2\right)^3-\left(2+\sqrt 2\right) \cdot \left( 7-\sqrt 2\right) $ je:

Zgled