Tetivni štirikotnik

Vsota nasprotnih notranjih kotov tetivnega štirikotnika je enaka $180°$.

$\alpha + \gamma=\beta+\delta=180°$

Dokažimo, da je naša ugotovitev prava. Na levem prikazu vključi prikazovanje središčnega kota. Kot $BSD$ je središčen nad istim lokom kot $\alpha$, zato je enak $2\alpha$. Podobno velja, da je kot $DSB$ enak $2\gamma$. Oba skupaj tvorita polni kot:

$2\alpha +2\gamma=360°$, zato je $\alpha +\gamma=180°$

Vsota drugih dveh notranjih kotov pa je prav tako enaka $180°$, saj je vsota vseh štirih enaka $360°$.

Premislimo, ali velja tudi obratno. Naj bo $\alpha + \gamma=\beta+\delta=180°$. Trikotniku $ABD$ očrtajmo krožnico. Na sliki sta označena kota $\alpha$ in $2\alpha$. Ker je $2\alpha + 2\gamma=360°$, je neoznačeni kot pri $S$ enak $2\gamma$. Obodni kot nad njim ima polovično velikost, zato točka $C$ leži na narisani krožnici.

Zadnjo ugotovitev uporabljamo pri presojanju, ali je nek štirikotnik tetiven. Kvadrat in pravokotnik sta zagotovo, saj imata vse notranje kote enake $90°$. Za preostale like razmisli samostojno in svoje ugotovitve preizkusi na levem prikazu ter primerjaj z ugotovitvami sošolca.

Izberemo poljubne tri izmed štirih oglišč. Trikotniku, ki ga oblikujejo, narišemo očrtano krožnico s pomočjo dveh simetral stranic. Če leži četrto oglišče opazovanega štirikotnika na narisani krožnici, potem je lik tetiven.

Obstaja še ena možnost: načrtati je treba simetrale treh stranic. Če se sekajo v eni točki, potem je opazovani štirikotnik zagotovo tetiven. Dokaz napravi v zvezek (upoštevaj, katero lastnost imajo točke na simetrali daljice).